作者：《升華洞察》馮升華
我拿出四個牙籤，問小朋友，你能拼出的最大數字是多少？
第一次拼出來的是88。
只有兩位數。。。你一定不服氣，能夠拼出來比88大的數字。。。
豎起來就多了啊！
接下來拼出了1111。
你拼的比這個大嗎？我還能拼出來更大的呢！
都說中文更有效，我可以拼一個「萬」字！
10000還不夠大呢，你說是不是？
你能拼多大？
我想到了乘方！是不是1111要大很多？
11^11=285，311，670，611=2.85312E+11
你在想什麼鬼主意？要超越！超越啊！
電腦知識都用上了！
11T，有KB、MB、GB、TB，1T是多少啊？
1T字節=1024GB=1024*1024MB=1024*1024*1024KB=1,099,511,627,776。翻譯成中國話是一萬億了。
11T=12,094,627,905,536
當然，比TB大的還有哪些呢？
1KB(Kilobyte 千字節) = 2^10 B = 1024 B；
1MB(Megabyte 兆字節) = 2^10 KB = 1024 KB = 2^20 B；
1GB(Gigabyte 吉字節) = 2^10 MB = 1024 MB = 2^30 B；
1TB(Trillionbyte 太字節) = 2^10 GB = 1024 GB = 2^40 B；
1PB(Petabyte 拍字節) = 2^10 TB = 1024 TB = 2^50 B；
1EB(Exabyte 艾字節) = 2^10 PB = 1024 PB = 2^60 B；
1ZB(Zettabyte 澤字節) = 2^10 EB = 1024 EB = 2^70 B；
1YB(YottaByte 堯字節) = 2^10 ZB = 1024 ZB = 2^80 B；
1BB(Brontobyte ) = 2^10 YB = 1024 YB = 2^90 B；
1NB(NonaByte ) = 2^10 BB = 1024 BB = 2^100 B；
1DB(DoggaByte) = 2^10 NB = 1024 NB = 2^110 B；
你肯定馬上就想到下一個啦。
T^T．這是一個多大的數字啊？
10995116277761099511627776。。。這是一個很大的數字了。
這個數字究竟有多大？
我們先看看其它的有名的大數字。
古戈爾(googol)是指1後有100個0，可以表示為：10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。這是美國數學家愛德華·卡斯納的侄子米爾頓·西羅蒂造出古戈爾一詞，卡斯納其派生出古戈爾普勒克斯googolplex一詞。
因為古戈爾比已知宇宙中基本粒子數目要多（後者估計在10^72到10^87之間），而古戈爾普勒克斯的零的數目為古戈爾，所以要把古戈爾普勒克斯googolplex以十進位寫出來或存入檔案都是不可能的。
以另一角度看，假設要把古戈爾普勒克斯要小得看不到的1點字型印出。TeX排版系統的1點字型一個數字佔0.3514598毫米，整個數需要米。已知宇宙的直徑是米。所以整個數的長度是宇宙直徑的倍。所需要的時間也是長得不可能的：要是一秒鐘寫2個數字，寫出古戈爾普勒克斯的時間是宇宙年齡的1.1×10^82倍。
T^T應該是介於兩個數字之間的數字。也就是：
googol < T^T < googolplex
佛祖也思考過大數，下面是他老人家的想像力：
萬：代表的是10的四次方；
億：代表的是10的八次方；
兆：代表的是10的十二次方；
京：代表的是10的十六次方；
垓：代表的是10的二十次方；
杼：代表的是10的二十四次方；
穰：代表的是10的二十八次方；
溝：代表的是10的三十二次方；
澗：代表的是10的三十六次方；
正：代表的是10的四十次方；
載：代表的是10的四十四次方；
極：代表的是10的四十八次方；
恆河沙：代表的是10的五十二次方；
阿僧祗：代表的是10的五十六次方；
那由它：代表的是10的六十次方；
不可思議：代表的是10的六十四次方；
無量：代表的是10的六十八次方；
大數：代表的是10的七十二次方；
頻波羅：代表的是10 的56次方；
矜羯羅：代表的是10 的112次方；
不可說不可說轉：代表的是10 的7 × 2^122次方。
葛立恆數，被視為現在正式數學證明中出現過最大的數。它大得連科學記數法也不夠用。
葛立恆數是在金氏世界紀錄中世界最大的「有意義」的自然數。
葛立恆（Ronald Graham，1935年10月31日－，生於加州託夫特），數學家，在排程理論、拉姆齊理論、計算幾何學和低差異數列均有建樹。其妻亦是數學家。
葛立恆數是拉姆齊理論（Ramsey theory）中一個極其異乎尋常問題的上限解，是一個難以想像的巨型數。這個問題表述為：
連接n維超立方體的每對幾何頂點，獲得一個有著2^n個頂點的完全圖（每對頂點之間都恰連有一條邊的簡單圖）。將該圖每條邊的顏色填上紅色或藍色。那麼，使所有填法在四個共面頂點上包含至少一個單色完全子圖的最小n值為多少？
葛立恆數無比巨大，無法用科學記數法表示，就連a^(b^(c^(…)))這樣的指數塔形式也無濟於事，甚至連數學家都難以理解它。
雖然這個準確答案未知，但葛立恆數是現時所知最小的上界。
雖然這個數太大了而無法完全計算出，但葛立恆數的最後幾位數可以通過簡單的算法導出。其最後12位數是262464195387。
知乎上查到的：
科學領域的數字，都很小，用多重指數（多層科學計數法）就可以表達出來。
1層指數：粒子的數目。1摩爾是6×10^23，而整個可觀測宇宙範圍內的質子數則是136×2^256（約為1.575×10^79。這個奇怪的表達式是Arthur Eddington給出的），光子數是1.1×10^89，而所有的基本粒子的數目則約為10^97。
2層指數：粒子的排列。只需要很少的幾個粒子，它們的排列數就已經可以超過宇宙中所有基本粒子的數目了。比如6階魔方的狀態數是1.57153×10^116。「微觀狀態數」就是這樣一種排列的概念，而且參與排列的粒子數目更大。整個可觀測宇宙的熵大約是10^120，這意味著微觀狀態數大概是10^10^120。
3層指數：龐加萊回歸時間。
現實世界實在是太小太小了。如果你踏入數學領域，那麼你將看到更加巨大的數字。這些「更加巨大的數字」，可以分成3類。
第一類，最小的，是可定義、可計算的數，或者能被這樣的數限制住的數。
第二類，更大的，是可定義、不可計算的數，或者能被可定義的數限制住，卻沒有算法可以計算的數。
第三類，最大的，則是不可定義的數。
Moser數、Graham數、Goodstein數列、TREE(3)、SCG(3)、燃燒數（fusible number）
給你們足夠過的能夠燃燒的繩子，已知每根繩子燒完需要1分鐘，但是繩子不均勻，所以你沒有辦法在繩子燃燒的中途判斷時間。那麼你將如何測量出45秒？
Loader數：如果僅僅給你們512個字符（不計空白）的空間，編出一段程序，在一臺假想的、有著足夠大的內存的計算機上，運行足夠長的時間，你最多能讓它輸出多大的數呢？乍一看，512個字符少之又少，甚至根本難以把像TREE函數、SCG函數那樣的東西定義出來，然而Ralph Loader卻寫出了下面這段C語言代碼，輸出一個瘋狂的大數——Loader數。
Busy beaver：在所有n狀態、2色的、能夠停機的圖靈機中，從開始運行（空白紙帶）到停機為止寫入的格子數的最大值，記作BB(n)。比BB更強大的是Ξ函數。
《大數入門》一書終結在Rayo數上。如果說busy beaver是第二類大數的大門，那麼Rayo數便是第三類大數的大門。與前兩類大數相比，Rayo數簡直就是開掛。簡單說來，Rayo數是在一階集合論語言中用不超過10^{100}個字符能夠定義出的有限的數的上確界。
最終，我們拼出了無窮大「∞」
無窮大很大嗎？有沒有比無窮大更大的？
阿列夫零！
先看一個關於無窮大悖論的故事
基塔：「「無窮飯店」是我們銀河系中心的一家巨大的旅館。它擁有無窮多個房間，這些房間通過黑洞伸展到更高級的時空領域。房間號從1開始，無限制地排下去。 一天，這個旅店的客房全住進了客人，這時候來了一位飛碟（不明飛行物）的駕駛員，他正要去別的星系。 儘管已經沒有空房間了，可是旅店老闆仍然給駕駛員找到了一個房間。他不過是把原來住在各個房間裡的房客都一一移到高一號的房間。於是左邊第1號房間就空出來給該駕駛員住。 第二天又來了五對夫婦渡蜜月。無窮飯店能不能接待他們，老闆只不過把每個客人都一一移到高5號的房間中去，空出的1到5號房就給這5對夫婦 。周末，又有無窮多個泡泡糖推銷員來到這家旅館開會。 」
赫爾曼：「我能夠理解無窮飯店可以怎樣接待有限數量的新到者，可是它怎麼能夠再給無窮多旅客找到新房間呢？ 」
基塔：「很容易，我親愛的赫爾曼。老闆只要把每個房間裡的客人移到原來號碼兩倍的房間中去就行了。 」
赫爾曼：「對了！這下每個房間裡的人都住到雙號房中，餘下的所有單號房間有無窮多個，它們空出來給泡泡糖商人住！」
關於無窮大還有很多悖論。計數用的數是無窮大等級中最低一級的無窮數。在整個宇宙中的點數是第二級無窮大數，第三級無窮大數比這要多得多！
德國數學家喬治·康託發現了無窮大的這種等級，他把這種新型的奇異等級稱為阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。關於阿列夫數有很多深刻的神秘性，解決它們是現代數學中最激動人心的挑戰之一。
飯店老闆最後施的策略就是打開無窮多個房間。這表明如何用阿列夫零減阿列夫零得到阿列夫零。讓每一個數與每一個偶數一一對應，則餘下的是一個由全部奇數所構成的阿列夫零集。
由實數所構成的集合形成更高一級的無窮集，康託稱之為阿列夫1。康託的輝煌成就之一就是著名的「對角論證法」，它說的是阿列夫1的元素不可能與阿列夫0的元素構成一一對應關係。阿列夫1也就是在一條線段上全部點的數目。康託證明了這些點怎樣能與一條無限直線上的點一一對應，怎樣與一方塊上的點、與一無限大平面上的點；與一立方體中的點、與無限大空間中的點一一對應，如此下去還可以與超立方體或更高維空間中的點一一對應。阿列夫1又稱為「連續統的勢」
阿列夫2是一切可能的數學函數——連續函數和不連續函數的數目。因為任何一個函數都可畫為一曲線，我們把「曲線」取廣義以包括不連續曲線，則阿列夫2就是一切可能的曲線數目。同樣，如果我們所指的曲線是在一張郵票上，或者在一個無窮空間裡，或者在一個無窮超空間裡的全部曲線，這一切都沒有問題，仍是阿列夫2。康託還證明了阿列夫2不可能與阿列夫1一一對應。
當一個阿列夫數被升級為它本身的冪，則產生一個更高級的阿列夫數，它不能與產生它的阿列夫數一一對應。因此，阿列夫數的階梯向上是無窮的。
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