說起樹，想必大多數人第一反應都是二叉樹以及二叉樹的各種親戚，包括紅黑樹、平衡二叉樹等。但是其實除了二叉樹外，普通的樹結構在數據結構中也佔據著非常重要的一部分。
不僅如此，所謂百川成海，白木成林。既然有了樹結構，自然而然也會有相應的森林結構。因此，本文就將從普通的樹結構出發，探討並介紹一下樹和森林的那些事。
1 樹的定義
樹實際上就是由許多個節點組成的集合，只不過每個節點的的組成是根據樹狀結構進行劃分。一顆普通的樹結構可以通過以下圖來定義。
還是再來羅嗦一遍，樹的結構就像是一顆倒掛的樹，結點的組成是以層級往下。一棵樹由若干子樹構成，而子樹又有更小的子樹構成。
樹的血緣關係
對於樹中的某個結點，最多只和上一層的結點有直接的關係，而與其下一層的多個結點有直接關係。其上一層的結點稱為雙親結點，下一層的結點稱為孩子結點。所有位於樹的最底部，沒有孩子結點的結點被稱之為葉子節點。具有相同雙親的結點互為兄弟節點。
樹的家族等級
樹是一個大家族，等級十分森嚴。樹中某個結點的子樹個數稱為該結點的度。所以葉子結點也就是度為0的結點。而度不為0的結點被稱之為內部結點。每一個結點都具有自己的層次，該層次由高往低遞增，根結點為第一層，根的孩子結點為第二層，依次類推。一棵樹最大的層數稱之為樹的高度(或深度)。
2 樹的存儲結構
由於普通的樹結構並不像二叉樹那麼規則，可能是多叉樹的組合，因此很難用常規的線性結構來存儲。因此樹結構的存儲需要將樹家族中的關係剝離出來進行存儲，保存了每個結點之間的關係，整個樹結構也就能依次進行恢復。
這就好比家族中的族譜一樣，記錄的是我們和雙親以及兄弟姐妹的關係。對於樹而言，則根據存儲關係的不同，可分為雙親表示、孩子表示以及孩子兄弟表示三種存儲方法。
雙親表示法
樹的雙親表示，顯然就是通過記錄每個結點的雙親結點來存儲整顆樹的層次關係。這裡常用的一種存儲結構就是數組。在連續的地址中存儲樹的結點，同時將之與其雙親結點在數組中的序號進行對應，這樣一來就能夠保存所有結點的雙親信息。
雙親表示法直接存儲的是結點的雙親位置(對應於數組的下標)，因此在求某個結點的雙親結點以及祖先結點時非常方便。但是卻無法直接獲得該結點的孩子結點的位置。
若需要查找指定結點的孩子以及後代結點，需要遍歷整個數組並進行多次判斷才行。
孩子表示法
樹的雙親表示法的缺點顯而易見，所以最直接的解決辦法就是乾脆存孩子結點算了。還別說，孩子表示法就是這樣一種表示方法。但是相較於雙親結點的存儲，存儲孩子結點有一個需要考慮的問題，就是某個結點的雙親結點最多只有一個，但是其孩子結點可能有多個。如果每個孩子結點都存儲在數組裡，這樣的方式不是一個明智的選擇，並且也沒有必要。
所以在使用孩子表示法來存儲樹的結構時，常使用數組+鍊表的結構。這種結構是不是很常見，跟解決哈希衝突的鏈地址法有異曲同工之意。在這樣的鏈式結構中，用指針指示出結點的每個孩子，每個孩子的位置通過鍊表依次相連，這樣就十分方便與查找每個結點的子孫。
只不過問題依舊，若要找出尋找某個結點的雙親則同樣需要遍歷所有鍊表。不過，既然雙親表示和孩子表示都有了，簡單粗暴的合併一下不就可以相互補充，共同進退嗎。
所謂的雙親孩子表示法，直接將雙親表示和孩子表示組合起來即可。這樣即可滿足雙親的查找，也可以滿足孩子的查找。
孩子兄弟表示法
本來有了雙親孩子表示法就已經足夠用來存儲樹中的數據信息了，為什麼還要來一個孩子兄弟法呢?其實不然，孩子兄弟表示法反而是一種很有意思且很有價值的表示方式。
在孩子兄弟表示法中，我們約定只存儲每個結點的第一個孩子結點和下一個兄弟結點。不僅如此，結點的存儲是通過鍊表進行的。話說不太清，還是直接看圖吧。
看起來似乎有些詭異的形狀，每個結點都作為鍊表的一個節點，通過兩個指針分別指向第一個孩子結點和下一個兄弟結點。為了防止大家看不懂，我舉個例子。拿結點B來說，它的第一個孩子結點是E，而它的下一個兄弟是與它處於同一層級的C。因此結點B的兩個指針分別指向了E和C。
孩子兄弟表示法這樣看起來似乎很雞肋，但是假如我們調整一下右邊這個圖，就能看出其中的蹊蹺了。
看出來了嗎，孩子兄弟表示法實際上就是將一顆普通的樹轉換成了二叉樹的形式。所以說二叉樹為什麼這麼重要，因為萬變不離其中呀。看到這，其實也透露出樹和二叉樹之間的轉換關係，許多二叉樹上的性質和操作也可以藉此運用在普通的樹結構中。
3 樹的遍歷
學過二叉樹的同學想必應該對前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷、中序遍歷爛熟於心了吧，無論是迭代還是非迭代的寫法，都是基礎得不能再基礎的東西了。而對於普通的樹而言，由於每個結點子樹的個數並不一定，因此不好規定前、中、後序的順序。
所以一般而言對於樹的遍歷方式有兩種，根據根結點被遍歷的先後可分為先根遍歷和後根遍歷。
樹的先根遍歷是先訪問樹的根節點，然後依次遍歷根結點的各個子樹。如此遞推。當將一顆普通樹轉換為對應的二叉樹時(孩子兄弟表示法)，其實就相當於是前序遍歷。
樹的後根遍歷就不用多說了吧，跟先根遍歷相反，先訪問根結點的各顆子樹，再訪問樹根結點。而樹的後根遍歷就相當於轉換後二叉樹的中序遍歷。不信的話你試試。
4 樹、森林和二叉樹的相互轉換
寫到這，突然發現好像忘記介紹森林是什麼東西了。其實森林的概念很簡單，就是很多顆樹。對，就是這樣。
樹、森林和二叉樹本質上都是類似的結構，因此相互之間可以進行轉換。任意一個森林或者一棵樹都可以對應表示為一顆二叉樹，而任何一顆二叉樹也能夠對應到一個森林或一棵樹上。
樹轉換為二叉樹，我們在前面已經介紹過，就是通過樹的孩子兄弟表示法。通過孩子兄弟法進行表示時，每一個樹都可以用一顆唯一的二叉樹來表示。但是轉換過來的二叉樹卻有一個非常顯著的特點。仔細觀察。
很顯然，這不是一顆平衡的二叉樹。並且，根節點是沒有右子樹的，我敢肯定的說。這是因為根節點是沒有兄弟結點的，它只有孩子結點，所以在轉換為二叉樹之後，一定是沒有右子樹的。
不過這樣的缺陷可以在森林中進行彌補。由於森林中有很多棵樹，因此可以將其它樹作為右子樹。具體的實現步驟，先將森林中的每一棵樹轉換為二叉樹，再將第一顆樹的根結點作為轉換後的二叉樹的根。第一棵樹的左子樹作為轉換後二叉樹根結點的左子樹，第二棵樹作為轉換後二叉樹的右子樹。第三顆樹作為轉換後二叉樹根結點的右子樹的右子樹。以此類推。
咱們來舉個例子。這裡有一個由三顆樹構成的森林。
將上面三棵樹分辨轉換二叉樹是以下形式。
然後將綠色二叉樹作為藍色二叉樹根節點的右子樹，將黃色二叉樹作為綠色二叉樹根節點的右子樹，就可以得到森林轉換為二叉樹的結果。
根據以上的規則，同樣可以將一顆二叉樹轉換為樹和森林。
5 總結
在數據結構中，估計樹和森林不算很熱門的結構，甚至許多工作過很多年的老碼農都不曾用過。寫這篇文章的時候，我也在想樹和森林到底在實際中有什麼用，似乎最重要的部分就是將一顆普通的樹轉換成二叉樹來處理。但是我想這就是它的價值所在吧。
許多真實場景中，可能數據之間的關係並不能直接通過二叉樹來表示和存儲，一開始可能都需要通過多叉樹或者各種畸形的樹結構來定義關係。這樣的樹肯定是不適用於快速的處理和訪問的，因此往往需要將這些奇形怪狀的樹轉換為規則的二叉樹來進行進一步的處理。最終為了回歸到具體的應用，也需要將二叉樹重新分解為最初的樹或者森林結構來獲得應用意義。
總的來說，存在即是真理。不怕用不到，就怕想不到。
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