我們知道，三角形中有三種比較重要的線段，分別是三角形的高、三角形的中線、三角形的角平分線。今天我們來討論一下三角形的角平分線分線段成比例的問題，在相似中，我們學了平行線分線段成比例定理：
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
由此可以得到：
平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。
即如下圖所示的「A」字型和「8」字型:
即：由DE∥BC可知AD／DB=AE/EC、
由FH∥GN可知FM/MN=HM/MG
下面利用構造這兩個模型來證明三角形的角平分線分線段成比例
如圖：AD平分∠BAC，交BC於點D
求證：AB/AC=BD/DC
【方法一：構造「8」字型】
過點C作AB的平行線，交AD的延長線於點E
證明（要點）：由AD平分∠BAC及AB∥CE推出AC=CE，再根據輔助線作的AB∥CE得到BD/DC=AB/CE，最後等量代換CE換AC即可
【方法二：構造「A」字型】
過點C作AD的平行線，交BA的延長線於點E
證明（要點）：由AD平分∠BAC及AD∥CE推出AC=AE，再根據輔助線作的AD∥CE得到BD/DC=AB/AE，最後等量代換AE換AC即可
【方法三：利用面積法】
分別過點A、點D作BC、AB、AC的垂線，垂足為點F、E、G
由△ABD和△ADC有公共高AF，所以△ABD的面積：△ADC的面積=BD:DC，又因為AD平分∠BAC，所以DE=DG (角平分線上的點到角兩邊的距離相等），所以△ABD的面積：△ADC的面積=AB:AC，所以AB:AC=BD:DC。
【實戰演練】
已知：如圖，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AB=7，CB=12
求AD的長。
證明要點如下：
延長BA至E，使AE=AC，連接CE，
∵∠A=2∠B AE=AC
∴∠E=∠B
∴CB=CE=12
又∵∠E=∠E ∠ECA=∠B
∴△ECA∽△EBC
∴EC/EB=EA/EC
∴AE=AC=9
最後利用前面講的三角形角平分線分線段成比例：AC/CB=AD/DB即可求出AD的長為3.
圖文：魏文杰
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