1、討論複合函數f(g(x))與g(f(x))的連續性，設
(1)f(x)=sgn x，g(x)=1+x^2；(2)f(x)=sgn x，g(x)=(1-x^2)x.
解：(1)∵f(g(x))=sgn(1+x^2)≡1，∴f(g(x))是連續函數.
∴x=0是g(f(x))的可去間斷點，其餘點處處連續.
∴x=0和x=±1是f(g(x))的跳躍間斷點.
又g(f(x))=[1-(sgn x)^2]x≡0，∴g(f(x))是連續函數.
2、設f,g在點x0連續，證明：
(1)若f(x0)>g(x0)，則存在U(x0,δ)，使在其內有f(x)>g(x)；
(2)若在某U(x0)內有f(x)>g(x)，則f(x0)≥g(x0).
證：(1)∵f(x0)>g(x0)，設ε0=(f(x0)-f(g0))/2>0，
∵f在點x0連續，∴lim(x→x0)f(x)=f(x0)，
即對ε0，有δ1>0，使當|x-x0|<δ1時，
就有|f(x)-f(x0)|<ε0=(f(x0)-f(g0))/2，
同理對ε0，有δ2>0，使當|x-x0|<δ2時，
就有|g(x)-g(x0)|<ε0=(f(x0)-f(g0))/2，
取δ=min(δ1,δ2)，則當|x-x0|<δ時，
就有|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|< f(x0)-g(x0)，
又f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)≤|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|，
∴f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)< f(x0)-g(x0)，
化簡得f(x)>g(x)，x∈U(x0,δ).
(2)若f(x0)<g(x0)，由(1)可知存在某U(x0,δ)，使f(x)<g(x)，
這與題設f(x)>g(x)矛盾；∴f(x0)≥g(x0).
3、設 f,g在區間I上連續，記F(x)=max{f(x),g(x)}，G(x)=min{f(x),g(x)}.
證明F和G也都在I上連續.
證：F(x)=max{f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]/2；
G(x)=min{f(x),g(x)} =[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]/2.
∵f,g在區間I上連續，∴|f(x)-g(x)|在區間I上連續，∴F和G也都在I上連續.
4、設f為R上的連續函數，常數c>0，
證明：F在R上連續.
證1：函數F等價於F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}，
∵f(x)和y=c在R上連續，∴min{c,f(x)}在R上連續；
又y=-c在R上連續，∴F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}在R上連續.
證2：函數F等價於F(x)=[|c+f(x)|-|c-f(x)|]/2，
∵f(x)在R上連續，∴|f(x)±c|在R上連續；∴F(x)在R上連續.
5、設f(x)=sinx,
證明：複合函數f(g(x))在x=0連續，但g在x=0不連續.
∴f(g(x))=-sinx在x=0連續.
又lim(x→0-)g(x)= -π，lim(x→0+)g(x)=π，∴g在x=0不連續.