原創 Helen 羅博深數學
本文來自公眾號「羅博深數學」
公眾號ID｜LuoboshenMath
作者｜Helen
導語
我們必須知道，我們必將知道。
Wir müssen wissen, wir werden wissen
——大衛·希爾伯特，德國數學家
大衛·希爾伯特（1862－1943年）
早在蘇格拉底之前的那個傳聞中早已失落的「眾神時代」，普羅泰戈拉（Protagorus）就提出「人是萬物的尺度，是存在的事物存在的尺度，也是不存在的事物不存在的尺度。」 從那時起，「人」和「人的認知」開始成為我們關注的命題。
「什麼是人」，「什麼是世界」，「人怎樣認識世界」，這都是哲學史上永恆的話題。數學家認識世界的方式就是一步一步的證明。羅教授也常常提到，因為證明中的每一個步驟都值得信賴，我們才得以從已知一步一步走向未知，將一個信仰轉移到另一個信仰。我們能夠依靠現有的證明方法來探究所有數學問題嗎？人類的認知，有極限嗎？
1900年，希爾伯特（David Hilbert）提出了他著名的23個問題，這23個問題涉及了數學的方方面面，一直到今天還指導著數學家們前進的方向。其中第二個問題，也是有名的「判定問題」。這個問題直指數學的基礎，這個問題的答案關係著我們認識世界的方式。
我們關心整個數學體系是否完備和一致，是不是所有數學命題都是非黑即白？是不是都可以通過有限次正確的數學步驟作出判定? 我們總是希望當我們通過數理邏輯來探索世界的時候，每個命題，要麼是真，要麼是假。更重要的，我們需要知道所有的命題都是可以被判定的。「上帝真的存在嗎？」很多人認為答案是肯定的；也有人認為答案是否定的；更有些人認為我們永遠沒辦法得到答案。當然了，這並不是個數學問題，而希爾伯特也不希望數學體系中有這樣的問題存在。
大衛·希爾伯特
希爾伯特雄心勃勃，要將整個數學體系嚴格公理化，然後用他的「元數學」來證明整個數學系統是堅不可摧的。這也就是赫赫有名的「希爾伯特計劃」:
1. 首先，將所有數學形式化，把每一個數學陳述都用符號來表達。你可能還記得我們學過的（任意，「∀」，存在，「彐」）等等。因為邏輯關係是有限的，符號必然也是有限的。再加上有限的英語字符，我們可以將這些元素統統編碼，用自然數表示清楚。
2. 然後，證明整個數學系統是完備（complete）的，即對任何一個數學陳述都存在一個數學證明。
3. 同時，還要證明數學是一致（consistent）的，也就是說這個數學系統絕不存在自相矛盾的命題。
4. 最後，還要有一個可以實現的算法，通過有限步程序最終對數學命題進行判定。理想的宏圖已經展開，希爾伯特對這個非常自信，並且斷言，「不存在不可解的問題」。像任何理想主義者一樣，希爾伯特痛恨矛盾共同體，更痛恨不能被解決的問題。
庫爾特·弗雷德裡希·哥德爾（1906年－1978年）
1930 年 9 月 7 日，時年 25 歲的數學家哥德爾（Kurt Friedrich Gödel）發表了著名的「不完備定理」（Imcompleteness theorem）: 「如果一個數學系統是一致的，那麼它就是不完備的」。換句話說，哥德爾證明了任何一個包含算術系統在內的數學系統不可能同時是完備的和一致的。
這裡提到的算術系統是指皮亞諾（Giuseppe Peano）在19世紀時建立了一個看似完備的算術系統，根據幾條基本公理即可以推導出其他複雜運算法則。這就是「希爾伯特計劃」的第二步，數學家們曾經設想在此基礎上建立起整個完備的數學系統。也就是說，用不著什麼複雜完備的系統，人們如果能在一個數學系統中做最簡單的算術，那麼這個系統或者是自相矛盾的，或者存在一些結論在這個系統內是無法證明的。其次, 他證明了，對於任意一個包含算術系統的數學系統來說，不可能在這個系統內部證明它本身的一致性：我們不能用某個數學系統裡所有的邏輯來證明這個數學系統不是自相矛盾的。也就是說王婆賣瓜，賣瓜就賣瓜，但是不能自賣自誇。而那個賣矛又賣盾的大哥，用他自己的矛攻擊自己的盾，結果是不可知的。
哥德爾的結論對當時整個數學界來說無疑是一次顛覆性的衝擊。80多年過去了，「哥德爾不完備定理」的影響仍然持續著，甚至成為了「火出圈」的「爆款定理」。許許多多的讀者都對它有著各種各樣的解讀。其中一種解讀認為哥德爾證明了人類的認知是有極限的，開始批判人類的理性，甚至將之作為不可知論的支持證據之一。像總是被誤解的尼採一樣，提到不完備定理，我們想到的是人類理性認知的滑鐵盧，這樣的印象是片面的。
伯特蘭·亞瑟·威廉·羅素（1872年－1970年）
「哥德爾不完備定理」的證明並不是人類理性的極限，恰恰相反，它是人類的理性之光。它本身的深刻就是人類理性的智慧最好的證明。我想了一下，這個證明的味道，和羅素悖論非常相似。這個悖論大家可能聽說過。上初中的時候，老師教我們認識集合，說給定一個性質，滿足這個性質的所有元素總可以組成一個集合。比如卡耐基梅隆大學的所有畢業生就是一個集合。但是羅素（Bertrand Russell）想了一想，覺得這個事情不靠譜。比如現在我們有一個集合A, 這個集合裡面所有的元素有這個一個性質：它不屬於它自己（它不是自己這個集合裡的元素）。那麼對於A本身來說，有兩種情況：
1. A屬於自己，那麼它是自己這個集合裡的元素。但是我們說A這個集合裡的元素都不屬於自己，所以不是自己這個集合裡的元素，矛盾。
2. A不屬於自己，那麼它不是自己這個集合裡的元素。但是根據A這個集合的性質，我們知道所有不屬於自己的集合都是A的元素，仍然矛盾。
其實這個悖論還有一個通俗版本，叫做理髮師悖論。
這個城市裡唯一的理髮師立下了以下的規定：只幫那些自己不理髮的人理髮。那麼理髮師應該為自己理髮嗎？理髮師並沒有辦法決定，因為：
1. 如果理髮師不給自己理髮，他需要遵守規則，幫自己理髮。
2. 如果理髮師是自己理髮的，他需要遵守規則，不給自己理髮。
哥德爾的證明就是我們熟悉的味道，他構造出了一個無法在公理體系內證明的命題。這個命題的內容說的正是「命題自身無法在此公理體系內被證明」。哥德爾清楚地證明了這一點，說明這個命題毫無疑問是正確的。所以，「哥德爾不完備定理」的證明過程其實告訴了我們，存在一個能在這個公理體系內表達的命題，但是在這個公理體系內既不能證明它，也無法證偽它。「哥德爾不完備定理」的確預示著某種「極限」，但這個「極限」只是「某類數學體系的極限」，但並不是「數理邏輯的極限」，也不是「人類理性的極限」，更不是「人類認知的極限」。正相反的，它指引數學家接下來探索的方向。它揭示了公理體系的局限性，告訴數學家們不要奢望僅僅將體系建立在幾組公理上，機械地利用「元數學」的基本邏輯規則進行推導，就能夠判定所有的數學命題。每一個公理體系，都需要不斷的完善自己，才能幫助我們不斷認識更加深刻複雜的規律。
希爾伯特計劃或許失敗了，但是刻在他墓碑上的格言卻將永遠指引著一代代的數學家前赴後繼：我們必須知道，我們必將知道。
原標題：《理髮師不幫自己理髮的人理髮，那他該不該幫自己理髮？》
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