任何4K+1素數的不定方程P=x^2+4yz總有奇數個解

2020-12-17 電子通信和數學

前面我們討論了費馬在1640年提出了數論中的一個定理：奇數可以表示為兩個平方數之和的充分必要條件是該質數被4除餘1，這就是數論中的費馬二平方定理，不能表示成兩個平方數之和的素數都是4K+3的形式，如下圖所示

如果p是一個素數，則它必是奇數+偶數之和，也就是說對於4K+1的所有素數，它的一個平方數是奇數，一個平方數是偶數

所示上述可以進一步表示成：X^2+(2Y)^2,其中X^2是奇數，(2Y)^2是偶數

為了更加便於研究，我們把(2Y)^2寫成4YZ，也就是Y^2用YZ來表示

當X=Y=1時，K=Z，這就是兩個平方數之和的充分必要條件P=4K+1

對於一個特定的質數，例如37的基本解是1,1,9

我們由此可以找到37不定方程的所有解，我們真正感興趣的是Y=Z的解，因為Y=Z將回歸到我們問題的本質，即素數可寫成整數平方和

在不定方程的解中，你會發現當Y不等於Z時，Y和Z可以互換，這樣就輕易得到不定方程的另一組解

這樣就37=X^2+4YZ的不定方程中，我們總共可以得到7組解， 解的個數是奇數，而不是偶數，這是因為存在一個Y=Z的情況，無論Y和Z如何互換它們都是相等的

這樣我們可以輕鬆得到41=X^2+4YZ的不定方程一定是11個解，也是奇數個解

我們可以證明對於任何4K+1素數的不定方程P=X^2+4YZ總有奇數個解，這是證明費馬二平方定理的重點

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