出品：新浪科技《科學大家》、墨子沙龍
作者：蔡天新 浙江大學數學系教授
春秋戰國時，河南商丘是宋國都城，也是孔子祖籍。跟儒家分庭抗禮的道家有兩個重要人物老子和莊子，其中庄子也是宋國人。還有一位就和數學相關的墨子，他也是宋國商丘人。名家惠施，也被稱為惠子，我認為他們是在中國古代那麼多哲學家裡面，科學水準最高的兩位，「名人名家」就是以惠子命名的。
古希臘也是英才輩出，就像我們春秋戰國一樣，哲學家、科學家很多。古羅馬的國力非常強盛，疆域非常廣泛，甚至英格蘭都被它徵服了，但是古羅馬留給我們的文明尚且不如古希臘多。
在我眼裡「天才」應該是傑出的意思。按照歷史學家的觀點，17世紀在歷史上是「路易十四世紀」，路易十四是法蘭西的太陽王，在他當政的時候，法國成為世界的一流強國。但是在哲學家看來，17世紀是科學人才輩出的一個世紀，英國哲學家懷特海稱這段時間為「天才的世紀」。這個世紀的科學家不一定有18世紀那麼多，但是重量級的人物特別多，而且其中有一半是橫跨文理兩大領域的。
大致上有九個人物，其中後面五個人物，完全是17世紀的科學家。前面四位中第一位是一半的學術生涯在17世紀，一半的學術生涯在16世紀後。從克卜勒、伽利略到笛卡爾，這三個人出生在16世紀，但他們的主要學術生涯全部都在17世紀，所以我想他們也代表了17世紀。
懷特海在著作《科學與近代世界》中說，直到1500年，歐洲人了解的科學知識尚且不如在公元前212年去世的阿基米德多，但到了1700年，牛頓完成巨著《自然科學的哲學原理》，整個世界進入了嶄新的現代。
這200年間歐洲發生了突變。現在我們要說的是後100年，因為前100年其實並沒有多少競爭，16世紀結束的那一年發生了一件大事，布魯諾在羅馬的鮮花廣場被活活燒死，布魯諾並不是一個大科學家，他是一個科學的宣揚者，他宣揚哥白尼的學說，為什麼哥白尼平安無事，反而布魯諾獲罪？因為哥白尼提出日心說以後就回到他的老家波蘭，沒引起多少人的關注，在老家終老。波蘭當時是一個遠離科學中心的國家，所以沒人知道在科學上是他提出了日心說，因此他就相對平安的度過了他的餘生。
義大利的文藝復興是17世紀以前幾百年的事情，藝術家不是突然爆發出來的，追根溯源，回到古希臘的畢達哥拉斯和柏拉圖，他們開創的那些數學傳統被亞裡斯多德的光芒蓋過去了，而亞里斯多德本人對數學並不是特別的重視。
亞里斯多德的「三段論」
畢達哥拉斯最有名的一句話，「萬物皆數」。由此可見，他非常重視數學。亞里斯多德依賴於生物學，這個生物學跟現在的生物學還是不一樣，那時候還是處於萌芽狀態的生物學。舉個例子，畢達哥拉斯定理，中國叫勾股定理，實際上它是用一句詩歌來表達的，「斜邊的平方，如果我沒有弄錯，等於其他兩邊的平方之和」。
柏拉圖繼承了畢達哥拉斯的衣缽，其實三句話來概括，就可以看出來他非常鍾情於數學。第一句話他說「數學是善」；
第二句話是放在了柏拉圖學院的門口，「不懂幾何學的人請勿入內」，也就是說你不懂數學的話，就不要到我這念書了；
第三句話非常的粗魯，他說「不懂得數學在探求真理方面的重要性的人，就像豬一般」，意思是你必須要用到數學，否則的話你就像豬一樣。這句話出現在柏拉圖最後一本著作《法律篇》。
亞里斯多德最有名的是「三段論」，三段論聽起來好像是有點道理，但是仔細看看可能是強詞奪理的。20世紀的時候哲學家羅素評價他，「筆下儘是一些枯燥乏味的教科書」，而柏拉圖卻是「寫下了扣人心弦的教科書」。羅素是比較欣賞畢達哥拉斯和柏拉圖的。
到文藝復興的時候，亞里斯多德去世都有差不多一千年了，但是他的哲學、思想一直統治著整個歐洲。藝術家們開始覺得不對勁了，因為在亞里斯多德這種哲學體系下，他們藝術創造都受到一點壓制，因此他們要重新從數字結構裡面去尋找。畢達哥拉斯把數學家比喻為至高無上的上帝，以此表明他們對數學的信賴。
伯魯乃列斯基
佛羅倫斯最顯赫最耀眼的一個建築就是佛羅倫斯大教堂，就是500年前伯魯乃列斯基設計的，現在它也是佛羅倫斯的制高點。比他晚一輩的人裡面有個人叫阿爾貝蒂，這個人本身是個雕刻家，但是對數學非常有研究，他就畫了這麼一幅圖，這個方法最初昭示於伯魯乃列斯基時期，但是阿爾貝蒂把它提高到比較通俗易懂的一步。
數學投影
上圖右邊是畫家的眼睛，左邊的是一個像三潭映月一樣的罈子。他用了一個技巧，就是用玻璃平板放在中間，放個方格紙隔好，然後自己的畫布上也放個方格紙。因為玻璃平板放在中央，它就有個輪廓出現，就是罈子的投影，他就依樣畫葫蘆的畫下來，這個方法就是阿爾貝蒂和伯魯乃列斯基創造的一個數學投影的方法。
幾十年後，一個叫丟勒的德國畫家，去旅行到義大利的時候，從阿爾貝蒂那裡學到這個方法，這個方法叫做perspective principle，透視原理。下圖是丟勒的自畫像。
丟勒
到現在為止，他依然是德國最偉大的畫家。他畫的另一幅作品叫《憂鬱》，右邊坐著一個穿著裙子的少女，眼神有點迷惘，左邊他用幾何圖案來表達迷惘的主題，我們特別關注的是右上角，右上角有一個窗子一樣的正方形，它寫著16個阿拉伯數字，每行、每列、對角線四個數字加起來都是34，甚至在角落上這四個數字加起來也是34，在四個角，這四個數字16、13、1、4加起來也是34，甚至9、15，加上那邊的2、8，構成一個平行四邊形，2加8是10，9加15是24 ，加起來也是34，完美的四個數字加起來都是34。在數學裡這個叫幻方：Magic Square，是丟勒本人發明的。
所以除了繼承了義大利的傳統以外，他還有自己的數字的發現把它放到繪畫裡面去，增加了這幅畫的神秘感，使得這幅畫的流傳到世界各地，進入了繪畫史，而且它最後一行的中間兩個數字15、14，正好是畫這幅畫的年份。
實際上那一年他親愛的母親去世了，他為了表達他的哀悼之情，就畫了這幅畫。這是歐洲藝術史上的一幅傑作，他用了一個數字的概念、數字的奧秘，實現了這個目標。這也是在當時文藝復興對數字的重新召喚，但是有點小遺憾，比如說中間這四個數字加在一起，它只有30不到34。
憂鬱
幻方
在印度的一個偏僻的鄉下，離新德裡300多公裡的克久拉霍寺廟裡面，牆上有這麼一個東西，翻譯成現代的阿拉伯數字。中間剛才這個位置，2、13、16、3加起來也是34。這個是歷史上全世界唯一一個十全十美的幻方，是印度人發明的，但它不是繪畫，只是一個幻方。前幾年世界聯合國教科文組織把這個寺廟所在的地方，選入世界文化遺產，跟這個幻方有很大關係。
上面這張照片是法蘭克福機場兩個航站樓之間的通道，看不出有什麼數學的東西，地磚上有很多平行線，頭上天花板上也有很多平行線，兩側的電梯的扶手也是平行線。這些平行線在三維空間裡都是平行的，但是拍成照片以後，已經不再平行，不僅不平行，而且所有的平行線都是從中間的某一點延伸出來的，這是19世紀發明的照像技術告訴我們的，但在500年前義大利文藝復興的時候，畫家就非常具有數學觀點。那時候根本沒有照相機的概念，但是他們已經從自己的眼睛、從他們的數學知識裡面就發現了這一點。
假如油畫裡有家具和天花板，肯定有平行線的，比如下圖是個家具，裡面有平行線，這個黃色的線條，它畫在畫上以後，一定要讓所有的黃色線條相交於同一點，這樣就完美了。
畫成以後要把黃色的線條，包括焦點也擦掉，所以英文裡叫vanishing point，沒影點加上透視原理，是古典油畫裡面非常重要的技巧，就來源於文藝復興的畫家們，來源於那個時候他們對數學、對柏拉圖、對亞里斯多德數學重新喚起的熱情而實現的。
這就是文藝復興時期受益於數學的例子，然後又有後來的達文西。達文西是個私生子，小時候沒有機會接受好的教育，他做學徒工，做到30多歲的時候，經濟條件改善了，才有機會自學幾何學，同時加以研究。
到四十七八歲的時候，他就畫出了那幅有名的畫——《最後的晚餐》。又過了20年，已經是垂垂老矣，六十七八歲的時候，他畫出了《蒙娜麗莎》。所以從他的經歷可以看出，30多歲的時候他對幾何學的研究，對他後來成為一個偉大的畫家是很重要的。文藝復興可以說是藝術非常輝煌的時代。
文藝復興的另外一個意義是打通了文理，為17世紀的科學的大踏步前進奠定了基礎。達文西文理雙全，但他的理科水準，按照李約瑟的話講，還是業餘水平。
伽利略提出的自由落體運動，理論基礎就是因為他的前輩，那些藝術家們已經把亞里斯多德權威形象降低了。本來亞里斯多德認為物體都不動的，那麼伽利略敢於否定，提出自由落體運動，是因為當時的藝術氛圍為主，當時藝術家們已經不是那麼崇拜亞里斯多德了。
克卜勒，他比伽利略小十幾歲，他本來是個文學碩士，在一個中學裡教書，但是有一天腦子裡突然被畢達哥拉斯和柏拉圖的「數學和諧」的信念所影響，因為這兩位前輩說世界萬物都是「數學和諧」的，因此他就想行星軌跡也應該以某種數學的圖案出現。在這個信念之下，他在17世紀的前20年提出「三大行星定律」。
三大行星定律，每個定律都是跟數學方程式有關係。在17世紀第一年，中國正好處在明朝萬曆年間，在那個時候明朝的「四大名著」有三部，還有哲學家，還有就是徐光啟和利瑪竇引進了《幾何原本》，但總體來說中國的那個時候，沒有像文藝復興運動做了那麼好的準備。
17世紀的科學，它到底好在哪個地方，天才表現在哪個地方？培根是開創先河的哲學家，他著有《學術的進展》，「知識就是力量」就是他提出來的。塞萬提斯的小說《唐吉可德》，也被認為是最偉大的長篇小說。莎士比亞的《哈姆雷特》到目前為止被認為是最重要的巨著。哈維的血液循環理論，到現在也是醫學裡面最重要的一個理論。
再來看看笛卡爾——近代哲學之父，除了數學上的解析幾何等發明以外，他的兩部最重要的哲學著作就在1642年前後發表的。懷德海說說「這個世紀可以說是時間不夠，沒法把天才人物的重大事件擺布開來」。
除了剛才幾件事情以外，還有吉爾伯特、化學的玻意耳、惠更斯的光學，都是在17世紀取得進展的。墨子擅長的光學和數學有關係，除了光的波動和鐘錶的擺動以外，還有惠更斯原理在數學上，有一個進入中學課本的叫「數學期望」，也是他定義的。
17世紀的數學家我列舉出了五個：笛卡爾、費爾馬、帕斯卡爾、牛頓、萊布尼茲。其中前面三位是法國人，後面兩個分別是英國人和德國人。
費爾馬，業餘數學家之王，利用業餘時間做數學，最後卻成為大數學家，他的成就有「費爾馬原理」，但因他不愛發表文章，所以解析幾何的發明權就歸笛卡爾了，微分學歸牛頓和萊布尼茨了。
但這些成果實際上他自己在筆記本上也做出來了。下圖最重要也最有名的「費爾馬大定理」，十多年前被英國劍橋大學懷爾斯教授解決了。「費爾馬大定理」有兩個非常著名的推廣，到現在還沒證明。
笛卡爾不僅是一位大數學家，同時還是個大哲學家。我們知道a，b，c是已知數，x，y，z是未知數，這就是笛卡爾建議規定的。這個方法一直沿用到今天，包括物理學等其他科學裡面，也都是用這個手段，是笛卡爾建議的。
笛卡爾
另外，笛卡爾比哥德巴赫早100年前，就已經把「哥德巴赫猜想」寫在筆記本上，只不過他也不太願意出版，所以後來就叫「哥德巴赫猜想」。他主要的數學靈感，就是發現解析幾何，而發現坐標系的靈感卻是在睡懶覺的時候產生的。他睡懶覺時看見天花板上蒼蠅在爬，他想：「把蒼蠅的運動軌跡給描繪出來該多棒」，怎麼描繪呢？他就想了一個方法，建立X軸、y軸，每個點有個橫坐標和縱坐標，不過這個事跡是傳說的。
他睡懶覺的地點叫烏爾姆，在德國最南部的兩個州，巴登-福騰堡和巴伐利亞中間。200年以後，烏爾姆小鎮上誕生了一位非常有名的科學家：愛因斯坦。
笛卡爾的二元論的想法，也是從烏爾姆發明的坐標系來的。笛卡爾之前的哲學家，無論是畢達哥拉斯還是其他人，都認為萬物是由一樣事情組成的。比如有人認為萬物是由水組成的，有人認為萬物由空氣、由泥巴組成的。畢達哥拉斯說萬物都是數，但到了笛卡爾，他認為坐標系有兩個，為什麼萬物只有一樣事情，便提出了著名的二元論。
帕斯卡爾定義了氣壓單位。17世紀的法國，巴黎已經是世界著名的城市，但是交通卻是個問題。那時交通沒有汽車，只有馬車，而馬車只是貴族才有，普通老百姓要從城東趕到城西，走路太辛苦了，然後帕斯卡爾建議建立公共馬車，他向巴黎市政府建議，成立一個公共馬車服務公司來操作這件事情。這就是我們今天每一座城市公共汽車服務公司、計程車服務公司的雛形。
牛頓
萊布尼茨
萊布尼茨是個數學家，同時也是物理學家和哲學家。1673年，他發明了級數，因此英國聘請他為皇家學會外籍會員。當時英國跟德國一樣，科學水平都不高，遠遠不如法國。而萊布尼茨在法國發明的微積分，結果法國反而不給他外籍院士的頭銜，由此也可以看出當時法國處在領先的地位。
借著文藝復興的力量，科學大步前進。但科學要想持久發展，人文方面必須得跟上去，正好17世紀的這幾位科學家就做了傑出的貢獻。最突出的是笛卡爾、帕斯卡爾、萊布尼茨。
「知識就是力量」，「讀詩使人靈秀」等，這些都是培根說過比較有名的話。他提出了歸納法，徹底打敗了亞里斯多德的「三段論」。
達爾文發明生物學時，歸納法發揮了特別重要的作用。值得一提的是，達爾文並不是個好學生，上課的時候經常打瞌睡，所以在三一學院的塑像群裡面，他在牛頓前面打瞌睡，所以大家把他塑造成下圖這樣。
達爾文
霍布斯在這些科學家中知名度不是特別高，他最有名的著作叫《利維坦》，他最有名的一句話「一切推理皆為計算」，而這句話導致了萊布尼茨發明了乘法計算器。
霍布斯
霍布斯說：「如果物質的東西和它們的所有部分始終處於靜止或永遠作同一運動，那麼世界萬物就不會有所區別。因此，萬物的各不相同必定是由於有多種多樣的運動」。霍布斯、笛卡爾、帕斯卡爾，他們年輕的時候都從事科學研究，但是到了年長以後，他們把經歷轉移到對哲學、對思想的探索上去，出版了這些代表作，對後輩們繼續從事科學事業，作用非常大。
帕斯卡爾除是哲學家、科學家以外，他還是個信徒。他說： 「如果上帝不存在，那麼你相信他也不會失去什麼；而上帝如果存在，你相信他就可以獲得永生」。這句話是我比較欣賞的他關於宗教的一句話。
帕斯卡爾跟笛卡爾他們兩人之所以到晚年都能夠持續的創造，更多的依賴於他們的懷疑主義，其中帕斯卡爾是比較溫和的懷疑主義者，而笛卡爾是一個徹頭徹尾的懷疑主義者，對世界萬物他首先要質疑，然後才能進行探究，最後才能有所發現。我想這也是我們的科學精神。
斯賓諾莎
斯賓諾莎有一個最有名的著作《倫理學》，是按照歐幾裡得的幾何方法演繹產生的。洛克的代表作叫《人類理智論》，他認為人的所有知識都建立在經驗的基礎之上，他曾經說「知識來源於經驗，而宗教和道德像數學一樣可以予以證明」，他很多著作裡面用了好多抽象的，類似於數學概念的東西來表達。這也是受到文藝復興遺風的影響，很多哲學的表達方式就傾向於用數理的方法來表達。
洛克
17世紀末，數學作為一種可以應用到基本物理問題的工具，已達到了成熟，所以在18世紀，數學給物理學家、應用數學家提供了一個施展才華的機會。17世紀的科學和哲學，可以說非常好地完成了使命。
懷特海曾說：「世界歷史的每一個時代，都有富於頭腦的人在孜孜不倦地致力於建立普遍性的原則。大學的主要責任，包括學術，主要責任就是繼承這種傳統，作為一種文化遺產而廣泛傳播，使之流芳百世。」這句話值得我們去深刻理會。
如果把文藝復興的藝術跟唐朝詩歌相比，它們各有千秋，都很輝煌。唐朝詩歌在世界上的地位是非常高。李白、杜甫有很多的外國詩人粉絲。
那麼它們的差別在哪裡？唐以後的兩宋，有很多技術上的革新，四大文明中的三個是在宋朝以後完成革新的。文藝復興以後的17世紀的歐洲，則是天才輩出，群星璀璨的世紀。一個是技術上取得很大的進展，另外一個在理論包括人才方面，包括可持續方面，群星璀璨，天才輩出，還是有差距的。我認為原因是唐朝只是詩歌的發展，並沒有注意文理交融。而文藝復興時，科技包括數學跟藝術結合得非常好，對後續發展非常重要的。這個差別對今後的發展是值得參考的。
剛剛過去的諾貝爾獎，大家都在感嘆日本人的成就，我想中國需要一個更好的人文環境，但並不是說讓科學家去做人文，我覺得一個好的人文環境可以讓科學家看問題更為深遠，可以更全身心地投入到工作中去，能培養更多更優秀的人才。
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