解曲線有關的高考數學壓軸題,掌握此種方法將助你一臂之力

2020-12-13 吳國平數學教育

在高中數學教材中,極坐標方程與參數方程相關知識內容,雖然有些屬於選修內容,但隨著高考改革的不斷深入,對高中數學選修部分考查也有了更加新穎的方法。

如用極坐標方程去解決數學問題具有獨特的優勢,在極坐標(P,θ)中,P表示線段長度,靈活方便,並且能從極坐標方程中求出;θ表示角度,可使有關運算轉化為三角函數式,計算有公式可循,因此它與直角坐標相比,有獨特的功能,特別在處理圓錐曲線的弦、半徑等問題中,極坐標具有一定的優越性。

在歷年高考數學當中,與圓錐曲線有關的綜合題型一直是高考重難點和熱點問題之一,也是高中數學教學內容當中的難點問題。解決此類題型切入口寬,靈活程度大,計算繁瑣,費時費力,正確率低。

解析幾何的基本思想就是在平面上引進「坐標」的概念,建立平面上的點和坐標之間的一一對應,從而建立曲線的方程,並通過方程研究曲線的性質。

因此,一旦考生找不到準備解題方法,或解題方法不得當,就會陷入困境。若此時我們適時合理地選用極坐標方程或參數方程,藉助於參數方程中參數的幾何意義來解題,竜起到事半功倍的效果。

典型例題分析1:

考點分析:

參數方程化成普通方程.

題幹分析:

(1)曲線C:(α為參數),利用cos2α+sin2α=1可得直角坐標方程,.利用ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,即可化為直角坐標方程.直線l(t為參數),消去參數t可得普通方程.

(2)利用點到直線的距離公式圓心C(0,2)到直線l的距離d.可得A,B兩點間距離|AB|的最小值=d﹣r.

對選修內容,不同的地區或不同學校會選擇不一樣的板塊,但在高考中往往會把所有內容實行全部羅列,從中再讓學生進行不同選擇,這樣就為不同學生發展提供了有利條件。

極坐標和參數方程是高中數學當中重要的知識點,也是高考數學考查的一個重要對象。在平時的數學學習過程中,我們要學會對極坐標和參數方程內容在高考中的考查和應用,進行了一個全面總結,讓自己對相關考點和題型做到心裡有數。

如在解析幾何試題中,與圓錐曲線的同一焦點弦的兩焦半徑的長的有關問題是極為常見的,此類問題的多種解法中,用圓錐曲線的統一定義(極坐標)求焦半徑長入手最簡單橢圓、雙曲線、拋物線可以統一定義為:平面上與一定點F(焦點)的距離和一條定直線l的距離比為定值e的點的軌跡。

典型例題分析2:

考點分析:

簡單曲線的極坐標方程;參數方程化成普通方程.

題幹分析:

(I)曲線C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,展開把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得極坐標方程.由於直線l經過點P,傾斜角為π/6,可得參數方程:(t為參數).

(II)直線l的極坐標方程為:θ=π/6,代入曲線C的極坐標方程可得,利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出.

在高考複習階段,我們要以研究高考試題來認識高考數學,把握重點,逐步提高數學綜合能力。

高考數學對極坐標一般有這麼幾個要求:

1、能在極坐標系中用極坐標表示點的位置,理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區別,能進行極坐標和直角坐標的互化。

2、能在極坐標系中給出簡單圖形(直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程,理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義。

圓錐曲線的極坐標方程是高中數學新課程中的選修內容,雖然這塊內容是獨立的,但是它的解題方法不是獨立的,可以進行知識遷移,用極坐標可以簡解一些有關圓錐曲線問題的高考題。

典型例題分析3:

考點分析:

簡單曲線的極坐標方程;參數方程化成普通方程.

題幹分析:

(Ⅰ)由曲線C的參數方程(θ為參數)利用cos2θ+sin2θ=1可得曲線C的直角坐標方程.由ρsin(θ+π/4),得Ρ(sinθcosπ/4+cosθsinπ/4),

(II)解法1:由於點Q是曲線C上的點,則可設點Q的坐標,點Q到直線l的距離為d.利用三角函數的單調性值域即可得出.

解法2:設與直線l平行的直線l'的方程為x+y=m,與橢圓方程聯立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0,令△=0,解得m即可得出.

自從「坐標」這個概念誕生以來,坐標思想就成為現代數學中最重要的基本思想之一,坐標系是聯繫幾何與代數的橋梁,是數形結合的有力工具,利用它可以使數與形相互轉化。

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