「高中數學三角」求sin(15°)、sin(18°)的值舉例

2020-12-11 快樂的數學老師高思

如果角α的度數為有理數,則α的三角函數值都是代數數,其中少部分是有理數。

一般規律附圖

中學常見0°、30°、45°、60°、90°及它們的誘導角的三角函數值需牢記並熟練運用。

今天我們來嘗試求15°、18°的正弦值(餘弦值、正切值同樣可求,不贅述)

題目一:求sin(15°)的值

解:由sin(15°)=sin(45°-30°)知,用正弦差角公式

得sin(15°)=sin(45°-30°)

=sin(45°)cos(30°)-cos(45°)sin(30°)

=√2/2x√3/2-√2/2x1/2=(√6-√2)/4

易得cos(75°)=sin(15°)=(√6-√2)/4

可求cos(15°)=sin(75°)=(√6+√2)/4

可求tan(15°)=sin(15°)/cos(15°)=2-√3

tan(75°)=sin(75°)/cos(75°)=2+√3

題目二:求sin(18°)的值

先複習兩個公式

餘弦二倍角公式之一
正弦三倍角公式

解:設sin(18°)=x(0<x<1),

等式cos(36°)=sin(54°)的左邊用餘弦二倍角公式,右邊用正弦三倍角公式變形得

1-2x^2=3x-4x^3即4x^3-2x^2-3x+1=0

因式分解得(x-1)(4x^2+2x-1)=0

解得x=sin(18°)=(√5-1)/4

為便於記憶:

sin(18°)等於是黃金數(√5-1)/2的一半

易得sin(18°)=cos(72°)=(√5-1)/4

註:cos(18°)=sin(72°)=√(10+2√5)/4比較難求

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