作者 | 蟈蟈
來源 | 轉載自知乎用戶蟈蟈
【導讀】GCN問世已經有幾年了（2016年就誕生了），但是這兩年尤為火爆。本人愚鈍，一直沒能搞懂這個GCN為何物，最開始是看清華寫的一篇三四十頁的綜述，讀了幾頁就沒讀了；後來直接拜讀GCN的開山之作，也是讀到中間的數學部分就跪了；再後來在知乎上看大神們的講解，直接被排山倒海般的公式——什麼傅立葉變換、什麼拉普拉斯算子等等，給搞蒙了，越讀越覺得：「哇這些大佬好厲害，哎我怎麼這麼菜！」。就這麼反反覆覆，嘗試一次放棄一次，終於慢慢有點理解了，慢慢從那些公式的裡跳了出來，看到了全局，也就慢慢明白了GCN的原理。今天，我就記錄一下我對GCN「階段性」的理解。
GCN的概念首次提出於ICLR2017（成文於2016年）：
一、GCN是做什麼的
在扎進GCN的汪洋大海前，我們先搞清楚這個玩意兒是做什麼的，有什麼用。
深度學習一直都是被幾大經典模型給統治著，如CNN、RNN等等，它們無論再CV還是NLP領域都取得了優異的效果，那這個GCN是怎麼跑出來的？是因為我們發現了很多CNN、RNN無法解決或者效果不好的問題——圖結構的數據。
回憶一下，我們做圖像識別，對象是圖片，是一個二維的結構，於是人們發明了CNN這種神奇的模型來提取圖片的特徵。CNN的核心在於它的kernel，kernel是一個個小窗口，在圖片上平移，通過卷積的方式來提取特徵。這裡的關鍵在於圖片結構上的平移不變性：一個小窗口無論移動到圖片的哪一個位置，其內部的結構都是一模一樣的，因此CNN可以實現參數共享。這就是CNN的精髓所在。
再回憶一下RNN系列，它的對象是自然語言這樣的序列信息，是一個一維的結構，RNN就是專門針對這些序列的結構而設計的，通過各種門的操作，使得序列前後的信息互相影響，從而很好地捕捉序列的特徵。
上面講的圖片或者語言，都屬於歐式空間的數據，因此才有維度的概念，歐式空間的數據的特點就是結構很規則。但是現實生活中，其實有很多很多不規則的數據結構，典型的就是圖結構，或稱拓撲結構，如社交網絡、化學分子結構、知識圖譜等等；即使是語言，實際上其內部也是複雜的樹形結構，也是一種圖結構；而像圖片，在做目標識別的時候，我們關注的實際上只是二維圖片上的部分關鍵點，這些點組成的也是一個圖的結構。
圖的結構一般來說是十分不規則的，可以認為是無限維的一種數據，所以它沒有平移不變性。每一個節點的周圍結構可能都是獨一無二的，這種結構的數據，就讓傳統的CNN、RNN瞬間失效。所以很多學者從上個世紀就開始研究怎麼處理這類數據了。這裡湧現出了很多方法，例如GNN、DeepWalk、node2vec等等，GCN只是其中一種，這裡只講GCN，其他的後面有空再討論。
GCN，圖卷積神經網絡，實際上跟CNN的作用一樣，就是一個特徵提取器，只不過它的對象是圖數據。GCN精妙地設計了一種從圖數據中提取特徵的方法，從而讓我們可以使用這些特徵去對圖數據進行節點分類（node classification）、圖分類（graph classification）、邊預測（link prediction），還可以順便得到圖的嵌入表示（graph embedding），可見用途廣泛。因此現在人們腦洞大開，讓GCN到各個領域中發光發熱。
二、GCN長啥樣，嚇人嗎
GCN的公式看起來還是有點嚇人的，論文裡的公式更是嚇破了我的膽兒。但後來才發現，其實90%的內容根本不必理會，只是為了從數學上嚴謹地把事情給講清楚，但是完全不影響我們的理解，尤其對於我這種「追求直覺，不求甚解」之人。
下面進入正題，我們直接看看GCN的核心部分是什麼亞子：
假設我們手頭有一批圖數據，其中有N個節點（node），每個節點都有自己的特徵，我們設這些節點的特徵組成一個N×D維的矩陣X，然後各個節點之間的關係也會形成一個N×N維的矩陣A，也稱為鄰接矩陣（adjacency matrix）。X和A便是我們模型的輸入。
GCN也是一個神經網絡層，它的層與層之間的傳播方式是：
這個公式中：
A波浪=A+I，I是單位矩陣
D波浪是A波浪的度矩陣（degree matrix），公式為
H是每一層的特徵，對於輸入層的話，H就是X
σ是非線性激活函數
我們先不用考慮為什麼要這樣去設計一個公式。我們現在只用知道： 這個部分，是可以事先算好的，因為D波浪由A計算而來，而A是我們的輸入之一。
所以對於不需要去了解數學原理、只想應用GCN來解決實際問題的人來說，你只用知道：哦，這個GCN設計了一個牛逼的公式，用這個公式就可以很好地提取圖的特徵。這就夠了，畢竟不是什麼事情都需要知道內部原理，這是根據需求決定的。
為了直觀理解，我們用論文中的一幅圖：
上圖中的GCN輸入一個圖，通過若干層GCN每個node的特徵從X變成了Z，但是，無論中間有多少層，node之間的連接關係，即A，都是共享的。
假設我們構造一個兩層的GCN，激活函數分別採用ReLU和Softmax，則整體的正向傳播的公式為：
最後，我們針對所有帶標籤的節點計算cross entropy損失函數：
就可以訓練一個node classification的模型了。由於即使只有很少的node有標籤也能訓練，作者稱他們的方法為半監督分類。
當然，你也可以用這個方法去做graph classification、link prediction，只是把損失函數給變化一下即可。
三、GCN為什麼是這個亞子
我前後翻看了很多人的解讀，但是讀了一圈，最讓我清楚明白為什麼GCN的公式是這樣子的居然是作者Kipf自己的博客：tkipf.github.io/graph-c 推薦大家一讀。
作者給出了一個由簡入繁的過程來解釋：
我們的每一層GCN的輸入都是鄰接矩陣A和node的特徵H，那麼我們直接做一個內積，再乘一個參數矩陣W，然後激活一下，就相當於一個簡單的神經網絡層嘛，是不是也可以呢？
實驗證明，即使就這麼簡單的神經網絡層，就已經很強大了。這個簡單模型應該大家都能理解吧，這就是正常的神經網絡操作。
但是這個簡單模型有幾個局限性：
只使用A的話，由於A的對角線上都是0，所以在和特徵矩陣H相乘的時候，只會計算一個node的所有鄰居的特徵的加權和，該node自己的特徵卻被忽略了。因此，我們可以做一個小小的改動，給A加上一個單位矩陣I，這樣就讓對角線元素變成1了。
A是沒有經過歸一化的矩陣，這樣與特徵矩陣相乘會改變特徵原本的分布，產生一些不可預測的問題。所以我們對A做一個標準化處理。首先讓A的每一行加起來為1，我們可以乘以一個
，D就是度矩陣。我們可以進一步把 拆開與A相乘，得到一個對稱且歸一化的矩陣：
。
通過對上面兩個局限的改進，我們便得到了最終的層特徵傳播公式：
其中 ,
為 的degree matrix。
公式中的 與對稱歸一化拉普拉斯矩陣十分類似，而在譜圖卷積的核心就是使用對稱歸一化拉普拉斯矩陣，這也是GCN的卷積叫法的來歷。原論文中給出了完整的從譜卷積到GCN的一步步推導，我是看不下去的，大家有興趣可以自行閱讀。
四、GCN有多牛
在看了上面的公式以及訓練方法之後，我並沒有覺得GCN有多麼特別，無非就是一個設計巧妙的公式嘛，也許我不用這麼複雜的公式，多加一點訓練數據或者把模型做深，也可能達到媲美的效果呢。
但是一直到我讀到了論文的附錄部分，我才頓時發現：GCN原來這麼牛啊！
為啥呢？
因為即使不訓練，完全使用隨機初始化的參數W，GCN提取出來的特徵就以及十分優秀了！這跟CNN不訓練是完全不一樣的，後者不訓練是根本得不到什麼有效特徵的。
我們看論文原文：
然後作者做了一個實驗，使用一個俱樂部會員的關係網絡，使用隨機初始化的GCN進行特徵提取，得到各個node的embedding，然後可視化：
可以發現，在原數據中同類別的node，經過GCN的提取出的embedding，已經在空間上自動聚類了。
而這種聚類結果，可以和DeepWalk、node2vec這種經過複雜訓練得到的node embedding的效果媲美了。
說的誇張一點，比賽還沒開始，GCN就已經在終點了。看到這裡我不禁猛拍大腿打呼：「NB！」
還沒訓練就已經效果這麼好，那給少量的標註信息，GCN的效果就會更加出色。
作者接著給每一類的node，提供僅僅一個標註樣本，然後去訓練，得到的可視化效果如下：
這是整片論文讓我印象最深刻的地方。
看到這裡，我覺得，以後有機會，確實得詳細地吧GCN背後的數學琢磨琢磨，其中的玄妙之處究竟為何，其物理本質為何。這個時候，回憶起在知乎上看到的各路大神從各種角度解讀GCN，例如從熱量傳播的角度，從一個群體中每個人的工資的角度，生動形象地解釋。這一刻，歷來痛恨數學的我，我感受到了一絲數學之美，於是凌晨兩點的我，打開了天貓，下單了一本正版《數學之美》。哦，數學啊，你真如一朵美麗的玫瑰，每次被你的美所吸引，都要深深受到刺痛，我何時才能懂得你、擁有你？
其他關於GCN的點滴：
對於很多網絡，我們可能沒有節點的特徵，這個時候可以使用GCN嗎？答案是可以的，如論文中作者對那個俱樂部網絡，採用的方法就是用單位矩陣 I 替換特徵矩陣 X。我沒有任何的節點類別的標註，或者什麼其他的標註信息，可以使用GCN嗎？當然，就如前面講的，不訓練的GCN，也可以用來提取graph embedding，而且效果還不錯。GCN網絡的層數多少比較好？論文的作者做過GCN網絡深度的對比研究，在他們的實驗中發現，GCN層數不宜多，2-3層的效果就很好了。這麼強大的玩意兒，趕緊去試試吧！
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