AP微積分Ti-83/84圖形計算器求根原理和用法

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AP微積分Ti-83/84圖形計算器求根原理和用法

2012-05-03 11:12

來源：新東方網

作者：北京新東方羅勇

　　Ti83/84圖形計算器被廣泛用於AP微積分考試當中。根據AP微積分考試大綱要求，圖形計算器在AP微積分中有四個應用：(1)畫函數圖象(2)求定值導數(3)求定積分(4)求方程的根。其中，對於83/84計算器求方程根的操作，很多AP考生都十分的困惑，導致困惑的主要原因有兩個：第一，不理解為何用計算器solver求根時需要輸入一個初值;第二，如何找這個初值。北京新東方羅勇老師在本文將針對上述兩個問題進行講解。

　　1. Ti-83/84圖形計算器solver算法解析

　　對於一個函數 處的切線方程為：

　　求切線與x軸的交點 即

　　以此類推，即可得到

　　根據上式，任意給出一個初值   足夠小的時候，即認為 的解，原理如下圖所示:

　　此方法稱之為 Newton-Raphson Method，是一種最常見的數值求解的方法(上大學後還會學到更多的數值方法)。下面通過一個例子來繼續解釋這個理論。

　　例題：求方程 的根。

　　解： 令給出初始值 得

　　

　　由於Ti83/84圖形計算器求根的算法已經內置，我們不得而知，但從其操作上看，可以認為後臺計算程序採用的就是此理論。這就是為何每次求根的時候，需要計算器操作者輸入一個初值。這個初值正是迭代的初始值。從上面理論可以看出，如果你給的初值越靠近真實的根，迭代次數越少計算速度將越快;同時，每次給一個初值，只能得到一個根。如果需要求多個根，需要多次輸入不能的初值得到不同的根。

　　有些同學經常抱怨，說「羅勇老師，這個破計算器求根偶爾出錯，為什麼」。這裡要告訴大家，Newton-Raphson Method不是萬能方法，它有一些弊端，有些時候方程明明有根，但是此法求不出其根。例如下圖所示的例子，此方法無效。

　　在真正的AP考試中，如果求根出錯時，調整一下初值應該就沒問題了。如果問題沒解決，可畫出兩個函數圖象，例如  ，用intersection也可求交點的值。

　　2. Ti-83/84圖形計算器求根如何找初值

　　上述理論清晰之後對於我們求根有了很大的幫助，但是緊接著最頭疼的問題是：如果找這個初值?對於找初值問題，十分簡單，那就是先用圖像計算器把圖象畫出來，看大概有幾個根，利用肉眼看根大概在什麼位置，然後給出一個比較接近根的初值，然後用solver求出其根，這樣我們就解決了求根的大問題。值得關注的是，強大的Ti89能準確的把所有跟求出來，經濟寬裕的同學不妨購買Ti89，有興趣的同學順便可以想想Ti89採用什麼強大的算法能把所有根求出來。

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