一文講解「線段樹」到底是什麼

線段樹是一個複雜的數據結構，比較難理解，也比較難解釋清楚。在我將這個數據結構反覆學習了五遍的時候，我終於有了信心寫出這篇介紹線段樹的文章。希望大家能夠掌握這種數據結構。

這篇文章比較長，建議大家耐心閱讀，好好消化吸收哦~~

前置內容

學習線段樹前，你需要掌握二叉搜索樹，不太了解的小夥伴，可以看看小灰之前發布的紅黑樹漫畫，前半部分講解了二叉搜索樹：

我只補充一個內容，就是關於二叉搜索樹如何編號。

二叉搜索樹的根節點編號為1，對於每個節點，假如其編號為N，它的左兒子編號為2N，右兒子編號為2N+1。因此，整個二叉搜索樹的編號如下：

上圖當中，結點上方的數字是結點的編號，後續為了簡單，把編號寫在結點內不。

有讀者可能要問了，為什麼3的兒子是6和7，而不是4和5呢？這是因為雖然節點4和節點5不存在，但是仍然應該為他們保留4和5這2個編號，你可以把這棵樹看成這樣：

線段樹的概念

線段樹，英文名稱是Segment Tree，其本質也是一個二叉搜索樹，區別在於線段樹的每一個節點記錄的都是一個區間，每個區間都被平均分為2個子區間，作為它的左右兒子。比如說區間[1，10]，被分為區間[1，5]作為左兒子，區間[6，10]作為右兒子：

為什麼要設計這樣奇怪的數據結構呢？

線段樹主要適用於某些相對罕見的應用場景：

比如給定了若干元素，要求統計出不同區間範圍內，元素的個數。

現在我們已經知道了什麼是線段樹，那麼看一個利用線段樹的例子。

線段樹的存儲與建造

這是一個序列：

現在我們要用它完成一個區間求和的任務。

區間求和就是指求序列中一段區間的所有元素之和。比如說上面的序列，區間[1，5]的和為元素1+元素2+元素3+元素4+元素5，也就是14。再舉一個例子，區間[9，10]的和為9。

在學習線段樹的概念的時候，我們就知道線段樹的每個節點都存儲了一個區間。比如說對於[1，10]這個節點，也就是這棵線段樹的根節點，那麼它的值為1+5+1+3+4+2+0+9+0+9=34。看我們把這棵樹填完：

（當一個區間的左右邊界已經相等時，比如[1，1]，表示這個區間內只有一個元素了，此時不能再分割，因此它就沒有左右兒子節點了）

現在就讓我們用代碼實現線段樹：

【代碼片段 1】 用一個類Node表示線段樹的節點：

class Node {     int l; // l是區間左邊界     int r; // r是區間右邊界     int sum; // sum是區間元素和     public Node (int l, int r, int sum){         this.l = l;         this.r = r;         this.sum = sum;     }}

【代碼解析 1】 線段樹的任意節點都有3個屬性：

• 區間的左邊界l
• 區間的右邊界r
• 區間的元素和sum

比如說在上面的線段樹中，區間[1,10]這個元素：

• 左邊界為1
• 右邊界為10
• 元素和為34

【代碼片段 2】 定義元素個數、原序列和線段樹

static int n = 10; // n是元素個數static int[] array = {0, 1, 5, 1, 3, 4, 2, 0, 9, 0, 9}; // array是原序列(第一個0是佔array[0]位的)static Node[] tree = new Node[4*n];static void initTree (){    for(int i = 0; i < tree.length; i++){        tree[i] = new Node(0, 0, 0, 0);    }}

【代碼解析 2】 首先我們在上文已經定義了元素個數和原序列。他們的值如下：

• 元素個數為10個
• 原序列為[0，1，5，1，3，4，2，0，9，0，9]

現在問題在於，存儲線段樹的數組應該開多大的空間？根據證明發現，一個有n個元素的序列，所對應的線段樹至少需要大小為4n的數組來存儲。這一類證明網上有很多，讀者可以自行查閱一下。

我們用inittree這個函數進行線段樹初始化（tree數組初始值為null，不初始化會報錯，我在這個地方卡了好久）

【代碼片段 3】 updateNode函數負責更新節點的值：

static void updateNode (int num) { // num是當前節點序號    tree[num].sum = tree[num * 2].sum + tree[num * 2 + 1].sum;}

【代碼解析 3】 仔細觀察前面的線段樹可以發現，每一個節點的值都等於其左右兒子值的和。我們剛剛學會，一個編號為n的節點，其左右兒子分別為2n和2n+1。因此我們把num的值更新為2num+2num+1，也就是其左右兒子的和。

【代碼片段 4】 build函數建造線段樹：

static void build (int l, int r, int num) { // 建樹    tree[num].l = l;    tree[num].r = r;    if (l == r) { // l = r說明到達葉子節點        tree[num].sum = array[l];        return;    }    int mid = (l + r) / 2;    build(l, mid, num * 2); // 遞歸左兒子    build(mid + 1, r, num * 2 + 1); // 遞歸右兒子    updateNode(num);}

【代碼解析 4】 函數從區間[l，r]開始遞歸遍歷整棵線段樹，每一次都遞歸它的左右兒子，到葉子節點時結束。遞歸每一個兒子時，都對它進行更新。這樣下來就完成了整棵樹的初始化。

線段樹的單點修改

現在假如我們需要把第6個元素從2修改為3：

那麼就會有很多的區間相應的改變。比如說區間[5，7]，從4+2+0=6變成了4+3+0=7。現在讓我們手動模擬一下線段樹的單點修改過程。這裡假設我們需要把元素6從2變成3：

首先，從根節點開始遍歷，發現含有元素6的區間是根節點的右兒子，與左兒子沒有關係。因此將修改目標鎖定到右兒子：

第二步，發現含有6的區間是左兒子，因此把目標放到左兒子上：

第三步同理：

第四步同理：

此時發現這是一個葉子節點，因此對它進行更新，從2變成3：

返回到上一層：

接下去同理：

然後我們跳過演示，讀者可以自己試試看用同樣的方法修改這棵樹。最後修改完應該是這樣的：

根節點最後應該從34變成35，我經常會忘記修改它的值，大家千萬不要忘記修改它。

演示完以後我們分析一下時間複雜度。如果我們使用線段樹修改元素，每次都是折半操作，相當於二分查找的速度，時間複雜度僅僅是對數級別，也就是 。

【代碼片段 5】 modify函數實現單點修改：

static void modify (int i, int value, int num) { // 把元素i修改為值value    if (tree[num].l == tree[num].r) { // 到達葉子節點        tree[num].sum = value;        return;    }    int mid = (tree[num].l + tree[num].r) / 2;    if (i <= mid) {        modify(i, value, num * 2); // 遞歸左兒子    }    else {        modify(i, value, num * 2 + 1); // 遞歸右兒子    }    updateNode(num);}

【代碼解析 5】 這一段代碼也不是很難。每一次我們都從根開始遞歸遍歷。我們先判斷要更改的元素屬於當前節點的左兒子還是右兒子，並且遞歸到該節點。遞歸結束後更新當前節點的值。假如遍歷到葉子節點，說明我們已經遍歷到了想要修改的元素，那麼我們直接把該節點的值修改為value就可以了。

到這裡我們已經學會了單點修改的方法了。接下來讓我們更進一步，學習區間修改。

線段樹的區間修改

首先讓我們明確一下區間修改的概念：

單點修改，大致是以下兩個步驟：

1. 找到需要修改的點
2. 修改這個點

而區間修改是這樣兩個步驟：

1. 找到需要修改的區間
2. 修改這段區間內的所有點

好的，概念我們明白了，現在要知道如何實現這個功能。首先我們看一看區間修改可能的情況：

1. 需要修改的區間包含在兒子之內：為大家畫個圖：我們看到需修改區間[6，8]包含在未修改區間的右兒子裡。這種情況很簡單，我們直接遞歸到右兒子即可。
2. 需要修改的區間被拆開：還是畫一個圖：這時4屬於左兒子，但是5和6屬於右兒子。這怎麼辦呢？最直接的方法是把這個區間拆成兩半，屬於左兒子的放一邊，屬於右兒子的放一邊，像這樣：

兩種情況分類討論後，我們就要考慮如何修改區間了。

最簡單的方法就是把這些區間挨個兒修改。但是大家可以試試看，這種方法比暴力還要慢好幾倍。因此我們需要使用懶惰標記。

現在假如我們需要把區間[5，7]每個元素增加2：

首先，5屬於根節點的左兒子，而6和7屬於根節點的右兒子，因此兩邊都要進行修改。我們可以先修改左兒子：

5屬於當前節點的右兒子，因此我們鎖定右兒子：

5屬於當前節點的右兒子，那麼我們修改右兒子。我們發現右兒子就是5。當前只有一個元素，因此我們把當前的值+2，並為其打上一個懶惰標記，懶惰標記的值也是2：

之後向上回溯，每一個節點都進行更新，也就是說每一個節點都更新為其左兒子+右兒子，最後更新完是這樣的：

到目前為止，懶惰標記還沒有發揮作用，但是我們可以看一看6和7這段區間的修改。首先因為6和7在根節點的右兒子，因此我們先遍歷右兒子：

接著因為6和7在當前節點的左兒子，因此我們遍歷左兒子：

之後我們發現6和7就是當前節點的左兒子，因此我們直接遍歷到左兒子，修改其值並打上懶惰標記。需要指出的是，因為6~7有2個元素，因此增加的值要乘2，也就是從+2變為+4，但懶惰標記的值不用乘2：

此時讓我們思考一個問題：

我們還需要遍歷修改[6，6]和[7，7]嗎？

這時就不用了，因為我們已經打上了懶惰標記，懶惰標記的初衷就是延遲修改，因此我們當然不需要再修改這兩個節點了。現在讓我們一鼓作氣，回溯到根節點，完成所有更新：

現在我們一起用代碼實現：

【代碼片段 6】 為Node類添加懶惰標記：

class Node {     int l; // l是區間左邊界     int r; // r是區間右邊界     int sum; // sum是區間元素和     int lazy; // lazy是懶惰標記     public Node (int l, int r, int sum, int lazy){         this.l = l;         this.r = r;         this.sum = sum;         this.lazy = lazy;     }}

【代碼解析 6】 新增了lazy變量作為懶惰標記。

【代碼片段 7】 modifySegment函數實現區間修改的代碼：

static void modifySegment(int l, int r, int value, int num) { // [l,r]每一項都增加value    if (tree[num].l == l && tree[num].r == r) { // 找到當前區間        tree[num].sum += ( r - l + 1 ) * value; // r-l+1是區間元素個數        tree[num].lazy += value;        return;    }    int mid = (tree[num].l + tree[num].r) / 2;    if (r <= mid) { // 在左區間        modifySegment(l, r, value, num * 2);    }    else if (l > mid) { // 在右區間        modifySegment(l, r, value, num * 2 + 1);    }    else { // 分成2塊        modifySegment(l, mid, value, num * 2);        modifySegment(mid + 1, r, value, num * 2 + 1);    }    updateNode(num);}

【代碼解析 7】 首先，按照開始講的3種情況，進行分類討論（情況分別是：完全在左區間，完全在右區間，分成了2塊），並且向下遞歸。

線段樹的區間查詢

區間查詢，顧名思義就是查詢一段區間內的元素和。那麼如何實現呢？

不急，現在我們來看這樣一種情況：

[1，2]有一個懶惰標記2。現在假如我要求[1，1]的值怎麼辦？

涼拌

為什麼我這麼說？因為[1，2]這個節點有一個懶惰標記，但是[1，1]卻沒有被更新，這是一個問題。

此時我們就要實現一個函數，用於把懶惰標記下傳給兒子們，稱為pushdown函數。下面直接給代碼，解析部分請看代碼解析吧：

【代碼片段 8】 使用pushdown函數下傳懶惰標記：

static void pushdown (int num) {    if(tree[num].l == tree[num].r) { // 葉節點不用下傳標記        tree[num].lazy = 0; // 清空當前標記        return;    }    tree[num * 2].lazy += tree[num].lazy; // 下傳左兒子的懶惰標記    tree[num * 2 + 1].lazy += tree[num].lazy; // 下傳右兒子的懶惰標記    tree[num * 2].sum += (tree[num * 2].r - tree[num * 2].l + 1) * tree[num].lazy; // 更新左兒子的值    tree[num * 2 + 1].sum += (tree[num * 2 + 1].r - tree[num * 2 + 1].l + 1) * tree[num].lazy; // 更新右兒子的值    tree[num].lazy=0; // 清空當前節點的懶惰標記}

【代碼解析 8】 下傳懶惰標記步驟有3步：

1. 將懶惰標記傳遞給兒子
2. 更新兒子的值
3. 清空當前節點的懶惰標記

需要注意的是，葉子節點不用下傳標記。

現在我們完成了pushdown函數的編寫，可以開始學習區間查詢了。剛才我們完成了區間修改，並且將原序列修改為了[1，5，1，3，6，4，2，9，0，9]。現在我們接著實現區間查詢問題。假如我們要查詢區間[5，6]：

正如我們所見，答案為10。現在告訴大家一個好消息，那就是區間查詢的大致步驟其實和區間修改沒有什麼出入。讓我們來實踐一下：

首先，5和6分別屬於根節點的左兒子和右兒子，那我們先遍歷左兒子：

接著繼續往下：

往下查找到[5，5]：

記錄好這邊答案為6。接著我們看根節點的右兒子，查找元素6：

向下搜索到[6，8]：

搜索到[6，7]：

此時我們需要下傳[6，7]的懶惰標記，並且更新[6，6]的值，如下：

最後遍歷到[6，6]，值為4，與剛才得到的6相加，答案就是10：

那麼我們上代碼：

【代碼片段 9】 query函數實現區間查詢：

static int query (int l, int r, int num) {    if (tree[num].lazy != 0) { // 下傳懶惰標記        pushdown(num);    }    if (tree[num].l == l && tree[num].r == r) { // 找到當前區間        return tree[num].sum;    }    int mid = (tree[num].l + tree[num].r) / 2;    if (r <= mid) { // 在左區間        return query(l, r, num * 2);    }    if (l > mid) { // 在右區間        return query(l, r, num * 2 + 1);    }    return query(l, mid, num * 2) + query(mid + 1, r, num * 2 + 1); // 分成2塊}

【代碼解析 9】 步驟與區間修改完全相同，記得要pushdown一下就行。

思考與探究

下面讓我們進行一些對於線段樹的思考與探究：

【思考 1】 線段樹都應用於什麼環境？除了區間和外，能否解決更多問題？比起別的樹有什麼優勢？

【答案 1】 線段樹一般多用於區間問題。在本文中我們解決的是區間和，但是也能解決更多的問題，比如區間平方和等等。線段樹只能解決符合下麵條件的問題：

當區間[l，r]可以由[l，mid(l，r)]和[mid(l，r) + 1，r]得到答案

我們舉幾個滿足條件的例子：

• 區間[5，8]的區間和，可以由[5，6]的區間和加上[7，8]的區間和得到。
• 區間[5，8]的最小值，等於區間[5，6]的最小值與[7，8]的最小值的最小值。

但是還有一些不滿足條件：

• 區間[5，8]的最長上升子序列。

另外就是線段樹比起別的樹的特點。線段樹屬於二叉搜索樹，像我們熟悉的紅黑樹、AVL樹其實也都屬於二叉搜索樹。只不過不同的二叉搜索樹用處不相同。線段樹比起別的樹，它的最大特點就是用作存儲區間的特性。

【思考 2】 線段樹和前綴和算法有什麼優劣區別嗎？

【答案 2】 寫到這裡並不清楚各位是否明白前綴和算法。這裡給大家簡單介紹一下：

對於任何一個序列，都能製作一個相對應的前綴和數組。對於一個序列來講，假如我們用pre表示前綴和數組，那麼pre[i]就表示區間[1，i]的區間和，比如pre[3]為array[1]+array[2]+array[3]，也就是7。

現在我們可用pre[i]表示區間[1，i]，那麼假如有一個任意區間[l，r]，我們應該怎麼表示它的區間和呢？仔細思考一下不難發現，區間[l，r]的區間和其實就是區間[1，r]減去區間[1，l - 1]，剩下的也就是區間[l，r]了。因此我們可用pre[r]-pre[l-1]表示。

舉個例子，區間[3，5]的和為1+3+4=8，相當於區間[1，5]減去區間[1，(3 - 1)]，也就是14-6=8。

我們發現，使用前綴和只要做一個減法就能得到區間和，而線段樹還要遍歷好多次，那是不是說，前綴和甚至要快於線段樹呢？我們可以來對比一下線段樹和前綴和的時間複雜度：

算法名稱初始化修改查詢前綴和O(n)O(n)O(1)線段樹O(log n)O(log n)O(log n)

我們發現，線段樹比起前綴和有更加穩定的特點。它的每一項都是對數級別。而前綴和雖然查詢非常快，但是修改速度就相對慢很多。因此我們認為，假如不需要進行元素的修改操作，那麼我們一般選擇前綴和。如果需要進行元素修改操作，那麼線段樹更為合適。

線段樹的完整代碼

最後，附上線段樹的完整代碼實現：

static int n = 10; // n是元素個數static int[] array = {0, 1, 5, 1, 3, 4, 2, 0, 9, 0, 9};// array是原序列(第一個0是佔array[0]位的)static Node[] tree = new Node[4*n]; // tree是線段樹public static void main(String[] args) {    initTree();    build(1, 10, 1); // 利用build函數建樹    System.out.println(&34; + query(2, 5, 1));    // 利用query函數搜索區間和    modify(5, 9, 1); // 利用modify函數實現單點修改（元素5從4改為9）    System.out.println(&34; + query(2, 5, 1));    modifySegment(3, 4, 3, 1);    // 利用modifySegment函數將[3，4]每個元素增加3    System.out.println(&34; + query(2, 5, 1));}static void initTree (){    for(int i = 0; i < tree.length; i++){        tree[i] = new Node(0, 0, 0, 0);    }}static void updateNode (int num) { // num是當前節點序號    tree[num].sum = tree[num * 2].sum + tree[num * 2 + 1].sum;}static void build (int l, int r, int num) { // 建樹    tree[num].l = l;    tree[num].r = r;    if (l == r) { // l = r說明到達葉子節點        tree[num].sum = array[l];        return;    }    int mid = (l + r) / 2;    build(l, mid, num * 2); // 遞歸左兒子    build(mid + 1, r, num * 2 + 1); // 遞歸右兒子    updateNode(num);}static void modify (int i, int value, int num) { // 把元素i修改為值value    if (tree[num].l == tree[num].r) { // 到達葉子節點        tree[num].sum = value;        return;    }    int mid = (tree[num].l + tree[num].r) / 2;    if (i <= mid) {        modify(i, value, num * 2); // 遞歸左兒子    }    else {        modify(i, value, num * 2 + 1); // 遞歸右兒子    }    updateNode(num);}static void modifySegment(int l, int r, int value, int num) { // [l,r]每一項都增加value    if (tree[num].l == l && tree[num].r == r) { // 找到當前區間        tree[num].sum += ( r - l + 1 ) * value; // r-l+1是區間元素個數        tree[num].lazy += value;        return;    }    int mid = (tree[num].l + tree[num].r) / 2;    if (r <= mid) { // 在左區間        modifySegment(l, r, value, num * 2);    }    else if (l > mid) { // 在右區間        modifySegment(l, r, value, num * 2 + 1);    }    else { // 分成2塊        modifySegment(l, mid, value, num * 2);        modifySegment(mid + 1, r, value, num * 2 + 1);    }    updateNode(num);}static void pushDown(int num) {    if(tree[num].l == tree[num].r) { // 葉節點不用下傳標記        tree[num].lazy = 0; // 清空當前標記        return;    }    tree[num * 2].lazy += tree[num].lazy; // 下傳左兒子的懶惰標記    tree[num * 2 + 1].lazy += tree[num].lazy; // 下傳右兒子的懶惰標記    tree[num * 2].sum += (tree[num * 2].r - tree[num * 2].l + 1) * tree[num].lazy; // 更新左兒子的值    tree[num * 2 + 1].sum += (tree[num * 2 + 1].r - tree[num * 2 + 1].l + 1) * tree[num].lazy; // 更新右兒子的值    tree[num].lazy=0; // 清空當前節點的懶惰標記}static int query (int l, int r, int num) {    if (tree[num].lazy != 0) { // 下傳懶惰標記        pushDown(num);    }    if (tree[num].l == l && tree[num].r == r) { // 找到當前區間        return tree[num].sum;    }    int mid = (tree[num].l + tree[num].r) / 2;    if (r <= mid) { // 在左區間        return query(l, r, num * 2);    }    if (l > mid) { // 在右區間        return query(l, r, num * 2 + 1);    }    return query(l, mid, num * 2) + query(mid + 1, r, num * 2 + 1); // 分成2塊}static class Node {    int l; // l是區間左邊界    int r; // r是區間右邊界    int sum; // sum是區間元素和    int lazy; // lazy是懶惰標記    public Node (int l, int r, int sum, int lazy){        this.l = l;        this.r = r;        this.sum = sum;        this.lazy = lazy;    }}