1、證明f(x)=x/(x^2+1)是R上的有界函數.
證：|f(x)|=|x/(x^2+1)|≤|x/(2x)|=1/2對一切x∈R都成立，
∴f(x)是R上的有界函數.
2、(1)敘述無界函數的定義；
(2)證明f(x)=1/x^2為(0,1)上的無界函數；
(3)舉出函數f的例子，使f為閉區間[0,1]上的無界函數.
解：(1)設f(x)在D上有定義。若對任意正數M，都存在x0∈D，使|f(x0)|>M. 則稱函數f(x)為D上的無界函數。
(2)證：任意給定正數M，設x0=1/根號(M+1)∈(0,1)，
則有|f(x0)|=1/x0^2=M+1>M.
∴f(x)為(0,1)上的無界函數.
(3)例如
3、證明下列函數在指定區間上的單調性；
(1)y=3x-1在(-∞,+ ∞)上嚴格遞增；(2)y=sinx在[-π/2,π/2]上嚴格遞增；
(3)y=cosx在[0, π]上嚴格遞減.
證：(1)設x1,x2∈(-∞,+ ∞)，且x1<x2，則
y1-y2=3x1-1-(3x2-1)=3(x1-x2)<0，即y1<y2，
∴y=3x-1在(-∞,+ ∞)上嚴格遞增.
(2)設x1,x2∈[-π/2,π/2]，且x1<x2，則有
-π/2<(x1+x2)/2<π/2，-π/2≤(x1-x2)/2<0，，
∴cos[(x1+x2)/2]>0；sin[(x1-x2)/2]<0，
從而y1-y2=sin x1-sin x2=2 cos [(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]<0, 即y1<y2；
∴y=sinx在[-π/2,π/2]上嚴格遞增.
(3)設x1,x2∈[0, π]，且x1<x2，則有
0<(x1+x2)/2<π，-π/2≤(x1-x2)/2<0，
∴sin[(x1+x2)/2]>0；sin[(x1-x2)/2]，
從而y1-y2=cos x1-cos x2= -2 sin [(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2], 即y1>y2；
∴y=cosx在[0, π]上嚴格遞減.
4、判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)=x^4/4+x2-1；(2)f(x)=x+sinx；
(3)f(x)=x^2e^(-x^2)；(4)f(x)=lg(x+根號(1+x^2)).
解：(1)f(-x)=(-x)^4/4+(-x)^2-1=x^4/4+x^2-1=f(x). 偶函數。
(2)f(-x)= -x+sin(-x)= -x-sinx= -(x+sinx)=-f(x). 奇函數。
(3)f(-x)= (-x)^2e^(-(-x)^2)= x^2e^(-x^2)=f(x). 偶函數。
(4)f(-x)= lg(-x+根號(1+(-x)^2))= lg[1/(根號(1+(-x)^2)+x)]= -lg(x+根號(1+x^2))= -f(x). 奇函數.
5、求下列函數的周期：
(1)cos2x；(2)tan3x；(3)cos(x/2)+2sin(x/3).
解：(1)cos2x=(1+cos2x)/2. ∵cos2x的周期為π，∴(cosx)^2的周期為π.
(2)∵tanx的周期為π，∴tan3x的周期為π/3.
(3)∵cos(x/2)的周期為4π，sin(x/3)的周期為6π，∴cos(x/2)+2sin(x/3)的周期為12π.
6、設函數f定義在[-a,a]上，證明：
(1)F(x)=f(x)+f(-x), x∈[-a,a]為偶函數；
(2)G(x)=f(x)-f(-x) , x∈[-a,a]為奇函數；
(3)f可表示為某個奇函數和某個偶函數之和.
證：(1)F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，對任意的x∈[-a,a]都成立，
∴F(x)=f(x)+f(-x)是[-a,a]上的偶函數.
(2)G(-x)=f(-x)-f(x)= -G(x)，對任意的x∈[-a,a]都成立，
∴G(x)=f(x)-f(-x)是[-a,a]上的奇函數.
(3)f(x)={[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]}/2=[F(x)+G(x)]/2；
(1)中已證F(x)是[-a,a]上的偶函數；(2)中已證G(x)是[-a,a]上的奇函數；
∴F(x)/2是[-a,a]上的偶函數；G(x)/2是[-a,a]上的奇函數. 原命題得證。
7、設f, g為定義在D上的有界函數，滿足f(x)≤g(x), x∈D.證明：
(1)sup f(x)≤sup g(x); (2)inf f(x)≤inf g(x).
證：(1)若sup f(x)>sup g(x)，令ε=[sup f(x)-sup g(x)]/2>0，由上確界定義知，
存在x0∈D，使f(x0)>sup f(x)-ε=[sup f(x)+sup g(x)]/2，
又對任意的x∈D，g(x)<sup g(x)+ε=[sup f(x)+sup g(x)]/2，
即f(x0)>[sup f(x)+sup g(x)]/2> g(x0)，這與題設f(x)≤g(x)矛盾，
∴sup f(x)≤sup g(x).
(2)若inf f(x)>inf g(x)，令∵ε=[inf f(x)-inf g(x)]/2>0，由下確界定義知，
存在x0∈D，使g(x0)<inf g(x)+ε=[inf f(x)+inf g(x)]/2，
又對任意的x∈D，f(x)>inf f(x)-ε=[inf f(x)+inf g(x)]/2，
即f(x0)>[inf f(x)+inf g(x)]/2> g(x0)，這與題設f(x)≤g(x)矛盾，
∴inf f(x)≤inf g(x).
8、設f為定義在D上的有界函數， x∈D，證明：
(1)sup[-f(x)]=-inf f(x)；(2)inf [-f(x)]=-sup f(x).
證：(1)令inf f(x)=ξ. 由下確界定義知，對任意x∈D，有f(x)≥ξ，即-f(x)≤-ξ；
∴-ξ是-f(x)的一個上界。
又對任意的ε>0，存在x0∈D，使f(x0)< ξ+ε，即-f(x0)>-ξ-ε；
∴sup[-f(x)]=-ξ=-inf f(x).
(2)令sup f(x)=η. 由上確界定義知，對任意x∈D，有f(x)≤η，即-f(x)≥-η；
∴-η是-f(x)的一個下界。
又對任意的ε>0，存在x0∈D，使f(x0)>η-ε，即-f(x0)<-η+ε；
∴inf [-f(x)]=-η=-sup f(x).
9、證明：tanx在(-π/2,π/2)上無界，而在(-π/2,π/2)內任一閉區間[a,b]上有界.
證：對任意正數M，取x0=arctan(M+1)，則x0∈(-π/2,π/2)，
tan x0= tan arctan(M+1)=M+1>M，∴tanx在(-π/2,π/2)上無界.
任取[a,b]∈(-π/2,π/2)，∵tanx在[a,b]上嚴格遞增，
∴tan a≤tan x≤tan b對任意x∈[a,b]都成立.
令M=max{|tan a|,|tan b|}，則對一切的x∈[a,b]，有|tan x|≤M，
∴tanx在[a,b]上有界.
10、討論狄利克雷的有界函數的有界性、單調性與周期性.
解：(1)由D(x)的定義可知，對任意x∈R，都有|D(x)|≤1，∴D(x)是有界函數.
(2)設x1為有理數，x2為無理數，無論x1>x2或x1<x2，D(x1)=1>0=D(x2)；
∴D(x)沒有單調性.
(3)對任意的有理數r，
即D(x)=D(x+r)；
對任意的無理數w，
即D(x)≠D(x+w)
∴任意的有理數都是D(x)的周期；而任何無理數都不是D(x)的周期.
11、證明f(x)=x+sinx在R上嚴格遞增.
證：任取x1,x2∈(-∞,+ ∞)，且x1<x2，則
則f(x2)- f(x1)=(x2-x1)+(sin x2-sin x1)
=(x2-x1)+2cos[(x2+x1)/2]sin[(x2-x1)/2]≥(x2-x1)-2|sin|>0，
∴f(x)=x+sinx在R上嚴格遞增.
12、設定義在[a, + ∞)上的函數f在任何閉區間[a,b]上有界，定義[a, + ∞)上的函數：m(x)=inf f(y)，M(x)=sup f(y), a≤y≤x. 試討論m(x)與M(x)的圖像，其中
(1)f(x)=cosx, x∈[0, + ∞)；(2)f(x)=x^2，x∈[-1, + ∞).
解：由m(x)及M(x)的定義可知，對任意的a<b，
當f(x)在[a,b]上為遞增函數時，m(x)=f(a)，M(x)=f(x)；
當f(x)在[a,b]上為遞減函數時，m(x)=f(x)，M(x)=f(a). 由此可知，
(1)當x∈[0,π]時，cosx為遞減函數，∴m(x)=cosx，M(x)≡1；
∵-1≤cosx≤1，∴當x∈[π, + ∞)時，m(x)≡-1, M(x)≡1；
∴m(x)與M(x)的圖象如圖11-1.
(2)同理，當x∈[-1,0]時，m(x)=x^2；當x∈[0, + ∞)時，m(x)≡0;
當x∈[-1,1]時，M(x)≡1；當x∈[1, + ∞)時，M(x)= x^2;
∴m(x)與M(x)的圖象如圖11-2.