1、二次函數的解析式的三種形式
2
f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ; (1)一般式
2
f (x ) =a (x -h ) +k (a ≠0) ; (2)頂點式
12(3)零點式.
2、四種命題的相互關係
原命題：與逆命題互逆，與否命題互否，與逆否命題互為逆否；逆命題：與原命題互逆，與逆否命題互否，與否命題互為逆否；否命題：與原命題互否，與逆命題互為逆否，與逆否命題互逆；逆否命題：與逆命題互否，與否命題互逆，與原命題互為逆否
f (x ) =a (x -x )(x -x )(a ≠0)
§ 函數
a (, 0)
1、若f (x ) =-f (-x +a ) , 則函數y =f (x ) 的圖象關於點2對稱; 若f (x ) =-f (x +a ) , 則函數y =f (x ) 為周期為2a 的周期函數.
2、函數y =f (x ) 的圖象的對稱性
(1)函數y =f (x ) 的圖x =a 象關於直線對稱⇔f (a +x ) =f (a -x )
⇔f (2a -x ) =f (x ) .
(2)函數y =f (x ) 的圖象關於直線
x =
a +b
2對稱⇔f (a +mx ) =f (b -mx )
⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
3、兩個函數圖象的對稱性
(1)函數y =f (x ) 與函數y =f (-x ) 的圖象關於直線x =0(即y 軸) 對稱. (2)函數y =f (mx -a ) 與函數y =f (b -mx ) 的圖象關於直線(3)函數y =f (x ) 和y =f
-1
x =
a +b
2m 對稱.
(x ) 的圖象關於直線y=x對稱.
4、若將函數y =f (x ) 的圖象右移a 、上移b 個單位，得到函數y =f (x -a ) +b 的圖象；若將曲線f (x , y ) =0的圖象右移a 、上移b 個單位，得到曲線f (x -a , y -b ) =0的圖象.
-1
f (a ) =b ⇔f (b ) =a . 5、互為反函數的兩個函數的關係：
(x ) -b ]
y =f (kx +b ) 6、若函數存在反函數, 則其反函數為, 並不是
1
y =[f (x ) -b ]-1-1
y =[f (kx +b ) , 而函數y =[f (kx +b ) 是k 的反函數.
7、幾個常見的函數方程
(1)正比例函數f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c .
x
f (x ) =a (2)指數函數, f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.
f (x ) =log a x f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1)
y =
1[f k
-1
(3)對數函數, .
α'
f (x ) =x f (xy ) =f (x ) f (y ), f (1)=α. (4)冪函數,
(5)餘弦函數f (x ) =cos x , 正弦函數g (x ) =sin x ，f (x -y ) =f (x ) f (y ) +g (x ) g (y ) ，
§ 數 列
1、數列的同項公式與前n 項的和的關係
n =1⎧s 1,
a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2( 數列{a n }的前n 項的和為s n =a 1+a 2+ +a n ).
2、等差數列的通項公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *)
；其前n 項和公式為
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n 2222.
a
a n =a 1q n -1=1⋅q n (n ∈N *)
q 3、等比數列的通項公式；其前n 項的和公式為 s n =
⎧a 1(1-q n )
, q ≠1⎪
s n =⎨1-q
⎪na , q =1⎩1
4、等比差數列
或
⎧a 1-a n q
, q ≠1⎪1-q s n =⎨
⎪na , q =1⎩1
.
{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通項公式為
⎧b +(n -1) d , q =1⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d
, q ≠1⎪q -1⎩
；其前n 項和公式為
⎧nb +n (n -1) d ,(q =1)
⎪s n =⎨d 1-q n d
(b -) +n ,(q ≠1) ⎪1-q q -11-q ⎩.
§ 三角函數
sin θ
22
1、同角三角函數的基本關係式 sin θ+cos θ=1，tan θ=cos θ，tan θ⋅cot θ=1.
2、正弦、餘弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）
n
⎧
n π⎪(-1) 2sin α, sin(+α) =⎨n -1
2⎪(-1) 2co s α,
⎩
n 2
⎧
n π⎪(-1) co s α, co s(+α) =⎨n +1
2⎪(-1) 2sin α,
⎩
3、和角與差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan α±tan β1 tan αtan β.
sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式); tan(α±β) =
cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
a sin α+
b cos α=
α+ϕ) (輔助角ϕ所在象限由點(a , b ) 的象限決
tan ϕ=
定,
4、二倍角公式
b
a ).
sin 2α=sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
2tan α
tan 2α=
1-tan 2α.
5、三倍角公式
sin 3θ=3sin θ-4sin 3θ=4sin θsin(-θ)sin(+θ)
33. cos3θ=4cos 3θ-3cos θ=4cos θcos(-θ)cos(+θ) 33
ππ
ππ
.
3tan θ-tan 3θππ
tan 3θ==tan θtan(-θ) tan(+θ)
1-3tan 2θ33.
6、三角函數的周期公式
函數y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函數y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ為常數，且A ≠0，ω
T =
＞0) 的周期
2π
ω；
x ≠k π+
π
函數y =tan(ωx +ϕ) ，
2(A,ω, ϕ為常數，且A ≠0，ω＞0) 的周期
a b c
===2R
7、正弦定理 sin A sin B sin C .
8、餘弦定理
, k ∈Z T =
π
ω.
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
9、面積定理
111
ah a =bh b =ch c h 、h 、h
b c 分別表示a 、b 、c 邊上的高）. 222（1）（a
111
S =ab sin C =bc sin A =ca sin B
222（2）.
S ∆OAB =(3)S =
§平面向量
1、兩向量的夾角公式
cos θ=
(a =
(x 1, y 1)
, b =
(x 2, y 2)
).
2、平面兩點間的距離公式
d
A , B |AB |= =
=3、向量的平行與垂直
(A
(x 1, y 1)
，B
(x 2, y 2)
).
設a =
(x 1, y 1)
, b =
(x 2, y 2)
，且b ≠0，則
.
.
a ||b ⇔b =λa
⇔x 1y 2-x 2y 1=0
a ⊥b (a ≠0) ⇔a ·b =04、線段的定比分公式 設
⇔x 1x 2+y 1y 2=0
P 1(x 1, y 1)
，
P 2(x 2, y 2)
，P (x , y ) 是線段
P 1P 2
的分點, λ是實數，且
PP =λPP 21
，則
⎧
x =⎪⎪⎨⎪y =⎪⎩
x 1+λx 2
1+λ
y 1+λy 2OP +λOP 2 t =1OP =1
1+λ⇔1+(1-t ) OP 2（⇔OP =tOP 1+λ1+λ）.
A(x1,y 1)
、
5、三角形的重心坐標公式 △ABC 三個頂點的坐標分別為
B(x2,y 2) C(x3,y 3)
、
, 則△ABC 的重心的坐標是
G (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) 33.
6、 三角形五「心」向量形式的充要條件
設O 為∆ABC 所在平面上一點，角A , B , C 所對邊長分別為a , b , c ，則
2 2 2
（1）O 為∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .
（2）O 為∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.
（3）O 為∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .
（4）O 為∆ABC 的內心⇔aOA +bOB +cOC =0.
（5）O 為∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .
§直線和圓的方程
y -y 1
k =2
x 2-x 1（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）. 1、斜率公式
2、直線的五種方程 （1）點斜式
y -y 1=k (x -x 1)
(直線l 過點
P 1(x 1, y 1)
，且斜率為k ) ．
（2）斜截式 y =kx +b (b為直線l 在y 軸上的截距).
y -y 1x -x 1
=
y -y 1x 2-x 1(y 1≠y 2)(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)). （3）兩點式 2
x y +=1a b (4)截距式 (a 、b 分別為直線的橫、縱截距，a 、b ≠0)
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同時為0).
3、兩條直線的平行和垂直 (1)若①②
l 1:y =k 1x +b 1
，
l 2:y =k 2x +b 2
;
l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
.
(2)若
l 1:A 1x +B 1y +C 1=0l 2:A 2x +B 2y +C 2=0
,
, 且A1、A2、B1、B2都不為零,
A 1B 1C 1
=≠A B C 2；22①
l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0l 1||l 2⇔
②
；
d =
4、點到直線的距離
5、圓的四種方程
(點
P (x 0, y 0)
, 直線l ：Ax +By +C =0).
222
(x -a ) +(y -b ) =r （1）圓的標準方程 .
22x +y +Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F ＞0). （2）圓的一般方程
⎧x =a +r cos θ⎨
⎩y =b +r sin θ
（3）圓的參數方程 .
（4）圓的直徑式方程
(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
(圓的直徑的端點是
A (x 1, y 1)
、
).
6、直線與圓的位置關係
222
(x -a ) +(y -b ) =r Ax +By +C =0直線與圓的位置關係有三種:
d >r ⇔相離⇔∆0.
B (x 2, y 2)
A +B 其中
7、圓的切線方程
其方程是
d =
Aa +Bb +C
2
2
.
22x +y +Dx +Ey +F =0．①若已知切點(x 0, y 0) 在圓上，則切線只有一條，(1)已知圓
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0(x 0, y 0) 22 . 當圓外時,
D (x 0+x ) E (y 0+y )
x 0x +y 0y +++F =0
22表示過兩個切點的切點弦方程．②過圓外一點y -y 0=k (x -x 0) x 0x +y 0y +
的切線方程可設為
，再利用相切條件求k ，這時必有兩條切線，注意不要
漏掉平行於y 軸的切線．③斜率為k 的切線方程可設為y =kx +b ，再利用相切條件求b ，必有兩條切線．
222
P (x , y ) x x +y 0y =r x +y =r (2)已知圓．①過圓上的000點的切線方程為0; ②斜率為k
y =kx ±的圓的切線方程為.
§圓錐曲線方程
2
⎧x =a cos θx 2y 2
⎨+2=1(a >b >0) 2y =b sin θa b 1、橢圓的參數方程是⎩.
x 2y 2a 2a 2
+2=1(a >b >0) PF 1=e (x +) PF 2=e (-x ) 2
b c ，c 2、橢圓a 焦半徑公式 .
3、橢圓的切線方程
x 2y 2x 0x y 0y +=1(a >b >0) +2=1222P (x , y ) 00處的切線方程是a b b (1)橢圓a 上一點. x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2P (x 0, y 0) a b (2)過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是
x 0x y 0y
+2=1a 2b .
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 222222Ax +By +C =0A a +B b =c a b (3)橢圓與直線相切的條件是. a 2a 2x 2y 2
PF 1=|e (x +) |PF 2=|e (-x ) |-2=1(a >0, b >0) 2
c ，c a b 4、雙曲線的焦半徑公式.
5、雙曲線的方程與漸近線方程的關係
x 2y 2x 2y 2b
-=1-=0⇔y =±x 2222
⇒a b a b a (1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
x 2y 2x y b
-2=λ±=0y =±x 2
⇒⇔a b a b a (2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
x 2y 2x 2y 2
-2=1-2=λ22b b (3)若雙曲線與a 有公共漸近線，可設為a （λ>0，焦點在x 軸上，
λ
6、 雙曲線的切線方程
x 2y 2x 0x y 0y -=1(a >0, b >0) -2=1222P (x , y ) 00處的切線方程是a b b (1)雙曲線a 上一點. x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2P (x 0, y 0) a b （2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是
x 0x y 0y
-2=12a b . x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2
b (3)雙曲線a 與直線Ax +By +C =0相切的條件是
A 2a 2-B 2b 2=c 2.
p
CF =x 0+22
2. 過焦點7、拋物線y =2px 的焦半徑公式：拋物線y =2px (p >0) 焦半徑
p p
CD =x 1++x 2+=x 1+x 2+p
22弦長. b 24ac -b 2y =ax +bx +c =a (x +) +
2a 4a (a ≠0) 的圖象是拋物線：8、二次函數（1）頂點坐
2
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
(-, ) (-, ) 2a 4a 2a 4a 標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是4ac -b 2-1y =
4a .
9、 拋物線的切線方程
2y =2px 上一點P (x 0, y 0) 處的切線方程是y 0y =p (x +x 0) . (1)拋物線
2
y =2px 外一點P (x 0, y 0) 所引兩條切線的切點弦方程是y 0y =p (x +x 0) . （2）過拋物線
22y =2px (p >0) pB =2AC . Ax +By +C =0（3）拋物線與直線相切的條件是
4
V =πR 3
2
31、球的半徑是R ，則其體積, 其表面積S =4πR ．
2、柱體、錐體的體積
1
V 柱體=Sh
3（S 是柱體的底面積、h 是柱體的高）. 1V 錐體=Sh
3（S 是錐體的底面積、h 是錐體的高）.
3、回歸直線方程
n
⎧
(x i -)(y i -)∑⎪
⎪b =i =1n =
2⎨x i -)(∑⎪i =1
⎪ y =a +bx ，其中⎩a =-∑x y -nx y
i i
i =1
n
n
∑x
i =1
2
i
-2
.
§極 限
1、幾個常用極限
111n lim =lim =0lim a =0lim x =x x →x 00x x 0.
（1）n →∞n ，n →∞（|a |
1、幾種常見函數的導數 (1) C '=0（C 為常數）. (2)
x
(x n ) ' =nx n -1(n ∈Q )
.
'(3) (sinx ) =cos x .
'(4) (cosx ) =-sin x .
11e
(loga x ) '=log a
x ；x (5) .
x x x 'x '(6) (e ) =e ; (a ) =a ln a .
(lnx ) '=
2、導數的運算法則
' ' ' (u ±v ) =u ±v （1）. ' ' ' (uv ) =u v +uv （2）.
u ' u ' v -uv ' () =(v ≠0) 2
v （3）v .
3、複合函數的求導法則
u x ' =ϕ' (x ) u =ϕ(x ) x 設函數在點處有導數，函數y =f (u ) 在點x 處的對應點U 處有導數
y u ' =f ' (u )
' ' ' y x =y u ⋅u x y =f (ϕ(x )) x ，則複合函數在點處有導數，且，或寫作
' ' '
f x (ϕ(x )) =f (u ) ϕ(x )
.
§復 數
|z ||a +
bi |z =a +bi 1、複數的模（或絕對值）=2、複數的四則運算法則
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; (2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ;
(a +bi ) ÷(c +di ) =
z 1⋅z 2=z 2⋅z 1
(4)
3、複數的乘法的運算律 交換律:結合律:
.
ac +bd bc -ad
+i (c +di ≠0)
c 2+d 2c 2+d 2.
(z 1⋅z 2) ⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3)
.
231213 . 分配律:1
4、複平面上的兩點間的距離公式
z ⋅(z +z ) =z ⋅z +z ⋅z
d =|z 1-z 2|=5、向量的垂直
（
z 1=x 1+y 1i
，
z 2=x 2+y 2i
）.
z =a +bi z 2=c +di OZ 1，OZ 2，則OZ 1⊥OZ 2⇔z 1⋅z 2
非零複數1，對應的向量分別是
z 2
222
|z +z |=|z |+|z |z 1212⇔⇔1為純虛數的實部為零
222
⇔|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|⇔|z 1+z 2|=|z 1-z 2|⇔ac +bd =0⇔z 1=λiz 2 (λ為非
零實數).
6、實係數一元二次方程的解
2
實係數一元二次方程ax +bx +c =0，
x 1,2=2
①若∆=b -4ac >0,
則; b
x =x =-122
2a ; ②若∆=b -4ac =0, 則
2
③若∆=b -4ac
2x =b -4ac
根.