怎用「a(n+1)」^2=3(an)^2+2an·a(n+1)導出遞推公式?常用方式兩種

2020-12-11 玉w頭說教育

原題

原題：已知各項均為正數的數列{an}滿足［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)，且a2+a4=3(a3+3)，其中n∈N+。若令bn=nan，求數列{bn}的前n項和Sn為？

圖一

要想求數列bn的前n項和Sn，就要先求出an的通項公式，要想求出an的通項公式，就要先求出關於an的遞推公式。

求出an的遞推公式

要想求出數列an的遞推公式，就要從給出的［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)式子入手，那這個式子該如何轉變成數列an的遞推公式呢？

第一種方法，直接因式分解。

我們仔細觀察式子［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)，不難發現這是兩個數的平方和這兩個數乘積的形式。

而對於出現兩個數的平方和這兩個數乘積的情況我們一般都會想到完全平方或者因式分解。

所以將［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)變形得到［a(n+1)］^2-2an·a(n+1)-3(an)^2=0，再將該式因式分解為［a(n+1)+an］(a(n+1)-3an)=0。

因為數列an的各項均為正數，所以a(n+1)+an≠0，所以a(n+1)-3an=0。

圖二

這樣就得到了數列an的遞推公式。

第二種方法，兩邊同時除以(an)^2後再因式分解。

對於給出的式子［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)，要麼將a(n+1)和an化成之差形式向等差數列靠近，要麼就是將a(n+1)和an化成之比的形式向等比數列靠近。

式子［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)無法化成a(n+1)和an之差形式，所以只能將其化成之比的形式。

所以將等式［a(n+1)］^2=3(an)^2+2an·a(n+1)，左右兩邊同時除以(an)^2形式，因為數列an各項均為正數，所以an≠0，得到［a(n+1)/an］^2-2a(n+1)/an-3=0。

將a(n+1)/an看成一個數，將其因式分解，可得到［a(n+1)/an+1］(a(n+1)/an-3)=0，因為數列an各項均為正數，所以a(n+1)/an+1≠0，所以a(n+1)/an-3=0。

圖三

這樣也得出了數列an的遞推公式。

根據數列an遞推公式得到數列an的通項公式

根據上述兩種方法得到的遞推公式都可以得到a(n+1)/an=3。

所以數列an是以3為公比的等比數列。

因為a2+a4=3(a3+3)，得到3a1+27a1=3(9a1+3)，解得到a1=3。

所以數列an是以3為首項，以3為公比的等比數列。

根據等比數列的通項公式得到出數列an的通項公式，即an=3^n。

根據數列an的通項公式求出數列bn的前n項和

因為數列bn=n·an，再根據數列an=3^n，所以有bn=n·3^n。

則有Sn=b1+b2+b3+...+bn=1×3+2×3^2+3×3^3+...+n·3^n①。

這裡的數列bn=n·3^n是由等差數列個等比數列相乘的形式，對於求這樣形式數列的前n項和時一般都用錯位相減法。

對於使用錯位相減法都要重新再構建一個數列bn前n項和再和①式做差。

即3Sn=3^2+2×3^3+3×3^4+...+(n-1)·3^n+n·3^(n+1)②。

①-②得到-2Sn=3+3^2+3^3+...+3^n+3^(n+1)=3(1-3^n)/(1-3)-n·3^(n+1)=(1/2-n)·3^(n+1)-3/2。

所以Sn=(n/2-1/4)·3^(n+1)+3/4。

圖四

總結

這道題需要注意的兩點：

第一點，當數列出現a(n+1)平方和an平方和這兩個數的乘積的形式時，一般都會用因式分解的方法得到數列的遞推公式。

如果該式不能因式分解，可以使用上述第二種方法來求解。

第二點，在求數列前n項和的數列通項公式為等差數列和等比數列乘積時，一般都是重新構建數列的前n項和再與原來的前n項和做差得到該數列的前n項和。

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