七年級上學期，數軸中的找規律問題，數形、計算相結合

2020-09-10 勤十二談數學

找規律問題我們從小學就開始接觸，最常見的有圖形類的找規律問題和數字類的找規律問題。在找規律的題目中，有一類問題也很常見，那就是有循環節的問題，找準循環節是解題的關鍵。數軸中也有不少找規律的題目，有些問題需要數形、計算相結合，有難度。

例題1：如圖，圓的周長為4個單位長度．在該圓的4等分點處分別標上數字0、1、2、3，先讓圓周上表示數字0的點與數軸上表示數-1的點重合，再將數軸按逆時針方向環繞在該圓上．則數軸上表示數-2018的點與圓周上表示數字（ ）的點重合．

分析：由於圓的周長為4個單位長度，所以只需先求出數軸在此圓上環繞的距離，再用這個距離除以4，如果餘數分別是0，1，2，3，則分別與圓周上表示數字0，3，2，1的點重合。可將數軸繞著圓逆時針纏繞，可以發現，-2與3重合，-3與2重合，-4與1重合。

由於是從-1開始，而不是從0開始，因此應該用2017÷4而不是2018÷4，2017÷4=504…1，∴數軸上表示數-2018的點與圓周上起點處表示的數字重合，即與3重合。

例題2：數軸上表示整數的點稱為整點，某數軸的單位長度為1cm，若在數軸上畫出一條長2015cm的線段AB，則AB蓋住的整點個數是（ ）

分析：某數軸的單位長度是1釐米，若在這個數軸上隨意畫出一條長為2015釐米的線段AB，則線段AB蓋住的整點的個數可能正好是2016個，也可能不是整數，而是有兩個半數那就是2015個。

某數軸的單位長度為1cm，若在數軸上畫出一條長n釐米的線段AB，則線段AB蓋住的整點個數是n個或n+1個。

例題3：在數軸上，點P表示的數是a，點P′表示的數是1/1a，我們稱點P′是點P的「相關點」，已知數軸上A1的相關點為A2，點A2的相關點為A3，點A3的相關點為A4…，這樣依次得到點A1、A2、A3、A4，…，An．若點A1在數軸表示的數是1/2，則點A2016在數軸上表示的數是（）.

分析：將a=1/2代入可得到2，將2代入可得到-1，將-1代入可得到1/2，發現已經出現循環，即循環節為3，2016÷3=672，所有點A2016在數軸上表示的數是-1。

例題4：一個點從數軸上的原點開始，先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，再向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，……，移動2019次後，該點所對應的數是（）

分析：第1次移動後對應的數為1，第2次移動後對應的數為-1，第3次移動後對應的數為2，第4次移動後對應的數為-2，第5次移動後對應的數為3，第6次移動後對應的數為-3，由此得出第n次移動後，若n為偶數，則對應的點表示的數為-n/2，若n為奇數，則對應的點表示的數為n+1/2。當n=2019時，該點所對應的數為2019+1/2=1010。

例題5：一隻小球落在數軸上的某點P0，第一次從P0向左跳1個單位到P1，第二次從P1向右跳2個單位到P2，第三次從P2向左跳3個單位到P3，第四次從P3向右跳4個單位到P4……若按以上規律跳了100次時，它落在數軸上的點P100所表示的數恰好是2019，則這隻小球的初始位置點P0所表示的數是（ ）

分析：設P0所表示的數是a，則a-1+2-3+4-…-99+100=2019，即：a+（-1+2）+（-3+4）+…+（-99+100）=2019．a+50=2019，解得：a=1969．點P0表示的數是1969．

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