矩陣的旋轉和相加——數組實現

1.矩陣

在數學中，矩陣是一個矩形陣列排列的複數和實數集合。是高等代數中常見的工具。在計算機科學中，一些數值分析、動畫製作、遊戲等方面就會用到矩陣。在程式語言中矩陣可以用一個二維數組進行模擬，如下圖所示：

矩陣和二維數組

大多數高級語言中，都支持二維數組，用二維數組來實現矩陣是非常容易的，程式語言更多的是用來模擬矩陣的加減操作以及移動操作。

2.矩陣的操作

在一些遊戲設計中，經常會用到矩陣進行操作，例如加減操作和旋轉操作就是使用頻率較多的操作。下面我們列舉幾個常見的矩陣操作：

2.1 矩陣相加

一般情況下，兩個矩陣相加，需要兩個矩陣擁有相同的大小（如下圖所示）：

矩陣相加

如果在計算機中進行模擬矩陣的相加，相當於兩個同等規模的二維數組相加，並進行同行同列的元素相加。相加後得到的矩陣依然是一個同等規模的矩陣數組。這個操作在程式語言中操作是非常簡單的。

2.2 矩陣錯位相加

矩陣錯位相加時，可以讓兩個不同規模的矩陣相加，這個模式的相加方式，只對兩個矩陣重合的部分進行相加（如下圖所示）。

矩陣錯位相加

2.3 矩陣旋轉

矩陣旋轉需要矩陣是一個規則矩陣（矩陣的長和寬相等，否則旋時丟失數據），矩陣的旋轉轉角為90度的倍數（如下圖所示）。

矩陣旋轉

矩陣的旋轉在遊戲中的應用非常廣泛，例如我們熟悉的俄羅斯方塊中，就會用到矩陣的旋轉。

3.Java程序模擬矩陣

在Java中，模擬矩陣需要創建一個行列平衡的二維數組（要求每行的元素個數都一樣）。如果要進行旋轉，必須要求二維數組的行列一致。我們可以定義類Matrix進行矩陣的模擬，它需要包含一個二維數組，以及表示二維數組的行列整型值。Matrix類的聲明及構造方法如下所示：

3.1 矩陣添加元素操作

為了給矩陣增加數據添加的入口，我們可以在Matrix類中增加矩陣添加數據的操作（整體矩陣隨機添加元素、按行和列添加元素），以及一個列印矩陣的方法，這些方法如下所示：

這裡要注意方法setforEach中的Function<V,R>參數，它是一個函數式接口。它的目的在於讓開發者自己定義數據的計算規則。泛型V是函數方法apply中的參數，泛型R是apply方法的返回類型。在setforEach方法內，我們將矩陣元素作為參數傳遞到apply方法中。在方法setRandomMatr中，我們就利用setforEach進行了隨機數添加，但是我們沒有使用矩陣中的元素。

這幾個方法在添加到Matrix類中後，我們可以在main方法中進行一些測試（測試內容和結果如下所示）:

3.2 矩陣相加操作

矩陣的第二個功能是完成矩陣的相加和錯位相加，這兩種相加方式可以通過參數來完成。進行錯位相加時，要判斷數組中的元素是否出界。在Matrix類中，添加add方法用於進行矩陣的相加和錯位相加（如下所示）。

進行矩陣相加時，要有一個基礎矩陣作為被加矩陣，被加矩陣默認為當前矩陣。進行矩陣相加時，允許偏移量小於0。下面為矩陣相加功能的測試結果：

3.3 矩陣旋轉操作

矩陣的旋轉是矩陣操作中稍微複雜一點的操作，如果找到規律後，矩陣的旋轉也不是難事。矩陣旋轉的前提條件是必須保證矩陣是一個長寬相等的正方形矩陣。其次旋轉時只能以90°的倍數進行旋轉（向左或向右）：

矩陣旋轉規則

上圖中左側為順時針旋轉90°時的算法。每一種顏色表示要旋轉的圈數。當矩陣的長度為基數或者偶數的時候，旋轉的圈數都可以記為n/2（n為矩陣長度）。

以上圖左側為例，當矩陣旋轉時，每旋轉一個矩陣元素時，要同時涉及到四個矩陣元素同時旋轉進行數據交換（左圖各顏色線條所標識），這四個元素之間的關係如下圖所示：

矩陣旋轉中元素之間的關係

在旋轉操作上，我們實際上只要操作上圖6中白色標記的元素，即可完成所有元素的旋轉。如果在雙層循環中完成旋轉操作，外層只要遍歷矩陣的深度的一半，即i<row/2，內層j起始應以i為起點開始遍歷，到row-i-1結束。在編寫矩陣旋轉方法時，我們可以添加右旋轉、左旋轉、以及多倍90度角旋轉（實現代碼如下）。

如果旋轉的角度不是90°的整數倍，我們按照除以90取整的方式進行，並計算出旋轉的角度是90，180還是270度。如果角度為負數，則說明是相反方向旋轉。在leftRotate和rightRotate中都滿足了上述兩種情景的判斷。上述方法測試情況如下：

如果我們想設計一個俄羅斯方塊的遊戲，就可以用到數組實現矩陣的一些功能。在以後的內容中，我們會進行講述。