水仙花數

2021-02-19 52數學網

近日，筆者的學生問了筆者這樣一道題：

求滿足的所有三位數，以及滿足的所有四位數。

從解題角度來說，這題目做起來是比較繁瑣的，但是這些數具有的奇妙性質，值得我們來對此加以研究

1³+5³+3³=1+125+27=153

3³+7³+0³=27+343+0=370

3³+7³+1³=27+343+1=371

4³+0³+7³=64+0+343=407

14+64+34+44=1634

84+24+04+84=8208

94+44+94+74=9497

這些等於各位數字n次方之和的n位數，我們稱其為自冪數或者超完全數字不變數（pluperfect digital invariant, PPDI）。

 

由於其性質的形式，從自身出發，又回到了自身，由這種只鍾愛自己的性質，所以我們又稱其為自戀數(narcissistic number)。

 

在英語中，自戀（narcissistic）一詞來源於希臘神話人物納西索斯（Narcissus）：

美少年納西索斯（Narcissus）是河神(Cephissus)與林間仙女(Liriope)的兒子。他的出生伴隨著一個來自先知Tiresias的奇特預言。預言說，如果納西索斯想要長命百歲，那麼他就決不能見到自己的影像。於是，帶著這樣一個預言，納西索斯漸漸長大，成為全希臘最俊美的男子。無數的少女對他一見傾心，可他卻無情地拒絕了所有的人。

伊可（Echo）本來也是一個美麗的山中仙女，但納西索斯仍然像拒絕其他人一樣拒絕了她。伊可十分傷心，整日在幽靜的山林中流淚徘徊，不吃不喝，很快地消瘦下去。最後，她的身體終於完全消失，只剩下憂鬱而輕柔的聲音在山谷中迴蕩。無論是何人對她呼喊，她都只重複對方的話語，從不作自己的回答。此後，希臘人便用伊可的名字（Echo）來表示「回聲」。

眾神憤怒了，決定讓納西索斯去承受痛苦：愛上別人，卻不能以被愛作為回報。有一天納西索斯無意間來到一個池塘邊。池塘的水清澈明淨，如同一面光潔的鏡子。納西索斯俯身鞠水，卻見到了自己在水中的倒影—— 一個比他以前見過的任何人都更加俊秀的少年。他瘋狂地愛上了他，無數次將手伸入水中，想要擁抱自己的愛人，可每一次的水波蕩漾都使他重新陷入絕望。他再也無法忍受這種痛苦，終於跳入池塘，溺水而死。出於同情，眾神讓他的身體化作一朵晶瑩剔透，出水而立的水仙花（narcissus）。

於是，前輩研究者們給這種數起了一個好聽的名字：水仙花數

 

顯然，水仙花數的個數是有限個的，最先給出證明的是伯納德

對於n位數：

設

於是10n-1≤Pn≤9×n9

顯然，兩個等號不可能同時成立

10n-1≤n≤9n

進而得到n≤60

即不存在60位以上的水仙花數

（當然，證明過程需要用到對數和函數性質，比較容易得到最後的結論，在此筆者不再加以贅述，有興趣的讀者可以自行證明）。

 

後來施瓦茨和納爾遜又先後改進了伯納德的結果，將上界進一步降低為n≤58。

 

當然，即使我們得到了n≤58的結論，想要一一求出所有的水仙花數仍然是一件很麻煩的事情，以前，找尋水仙花數的紀錄一直由美國數學家納爾遜所保持，他找到了一個10位的水仙花數：4679307774，由於在求解思路上的限制，對水仙花數的探索陷入了一個巨大的瓶頸。

 

然而，在21世紀，中國國防科技大學的劉江寧先生提出了一種新的思路：

一、，我們往往習慣從左邊入手處理問題，而實際上，從右邊入手處理問題會更加的簡單。

二、轉化問題，設中有個k0個0、k1個1、k2個2、……、k9個9，那麼顯然，k0+k1+k2+……+k9個9，顯然在k0個0、k1個1、k2個2、……、k9個9所組成的所有n位數中，至多只有一個水仙花數，所以，我們通過對新的不等方程自然數解的尋找來減少在尋找水仙花數中的枚舉次數。

三、當n充分大時，a1、a2、……、an中會出現很多個9，對此，劉先生提出了最大值次數限定策略，例如，當n=60，他證明了9至少出現了56次，這樣就能大大減少較大時的可能情況，從而減少計算量。

根據上述思路，劉先生編制了相應的電腦程式，徹底解決了水仙花數的尋求問題，十進位中，水仙花數一共有88個，最大的是兩個39位數。

 

然而，雖然劉先生解決了水仙花數的問題，但是我們仍然沒有停下探索的腳步，我們發現，有一些數具有一些類似於水仙花數的性質，例如：

89=81+92

135=11+22+33

1676=11+62+73+64

or

數學無止境

我們永遠不會停下探索的腳步

 

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