本文基於幾篇經典的論文，對 Attention 模型的不同結構進行分析、拆解。
先簡單談一談 attention 模型的引入。以基於 seq2seq 模型的機器翻譯為例，如果 decoder 只用 encoder 最後一個時刻輸出的 hidden state，可能會有兩個問題（我個人的理解）。
1. encoder 最後一個 hidden state，與句子末端詞彙的關聯較大，難以保留句子起始部分的信息；
2. encoder 按順序依次接受輸入，可以認為 encoder 產出的 hidden state 包含有詞序信息。所以一定程度上 decoder 的翻譯也基本上沿著原始句子的順序依次進行，但實際中翻譯卻未必如此，以下是一個翻譯的例子：
英文原句：space and oceans are the new world which scientists are trying to explore.
翻譯結果：空間和海洋是科學家試圖探索的新世界。
詞彙對照如下：
可以看到，翻譯的過程並不總是沿著原句從左至右依次進行翻譯，例如上面例子的定語從句。
為了一定程度上解決以上的問題，14 年的一篇文章 Sequence to Sequence Learning with Neural Networks 提出了一個有意思的 trick，即在模型訓練的過程中將原始句子進行反轉，取得了一定的效果。
為了更好地解決問題，attention 模型開始得到廣泛重視和應用。
下面進入正題，進行對 attention 的介紹。
Show, Attend and Tell■ 論文 | Show, Attend and Tell: Neural Image Caption Generation with Visual Attention
■ 連結 | https://www.paperweekly.site/papers/812
■ 源碼 | https://github.com/kelvinxu/arctic-captions
文章討論的場景是圖像描述生成（Image Caption Generation），對於這種場景，先放一張圖，感受一下 attention 的框架。
文章提出了兩種 attention 模式，即 hard attention 和 soft attention，來感受一下這兩種 attention。
可以看到，hard attention 會專注於很小的區域，而 soft attention 的注意力相對發散。模型的 encoder 利用 CNN (VGG net)，提取出圖像的 L 個 D 維的向量，每個向量表示圖像的一部分信息。
decoder 是一個 LSTM，每個 timestep t 的輸入包含三個部分，即 context vector Zt 、前一個 timestep 的 hidden state、前一個 timestep 的 output。 Zt 由 {ai} 和權重 {αti} 通過加權得到。這裡的權重 αti 通過attention模型 fatt 來計算得到，而本文中的 fatt 是一個多層感知機（multilayer perceptron）。
從而可以計算。接下來文章重點討論 hard（也叫 stochastic attention）和 soft（也叫 deterministic）兩種 attention 模式。
1. Stochastic 「Hard」 Attention
記 St 為 decoder 第 t 個時刻的 attention 所關注的位置編號， Sti 表示第 t 時刻 attention 是否關注位置 i ， Sti 服從多元伯努利分布（multinoulli distribution）， 對於任意的 t ，Sti,i=1,2,...,L 中有且只有取 1，其餘全部為 0，所以 [St1,St2,...,stL] 是 one-hot 形式。這種 attention 每次只 focus 一個位置的做法，就是「hard」稱謂的來源。 Zt 也就被視為一個變量，計算如下：
問題是 αti 怎麼算呢？把 αti 視為隱變量，研究模型的目標函數，進而研究目標函數對參數的梯度。直觀理解，模型要根據 a=(a1,...,aL) 來生成序列 y=(y1,...,yC) ，所以目標可以是最大化 log p(y|a) ，但這裡沒有顯式的包含 s ，所以作者利用著名的 Jensen 不等式（Jensen's inequality）對目標函數做了轉化，得到了目標函數的一個 lower bound，如下：
這裡的 s ={ s1,...,sC }，是時間軸上的重點 focus 的序列，理論上這種序列共有個。 然後就用 log p(y|a) 代替原始的目標函數，對模型的參數 W 算 gradient。
然後利用蒙特卡洛方法對 s 進行抽樣，我們做 N 次這樣的抽樣實驗，記每次取到的序列是，易知的概率為，所以上面的求 gradient 的結果即為：
接下來的一些細節涉及reinforcement learning，感興趣的同學可以去看這篇 paper。
2. Deterministic 「Soft」 Attention
說完「硬」的 attention，再來說說「軟」的 attention。 相對來說 soft attention 很好理解，在 hard attention 裡面，每個時刻 t 模型的序列 [ St1,...,StL ] 只有一個取 1，其餘全部為 0，也就是說每次只 focus 一個位置，而 soft attention 每次會照顧到全部的位置，只是不同位置的權重不同罷了。這時 Zt 即為 ai 的加權求和：
這樣 soft attention 是光滑的且可微的（即目標函數，也就是 LSTM 的目標函數對權重 αti 是可微的，原因很簡單，因為目標函數對 Zt 可微，而 Zt 對 αti 可微，根據 chain rule 可得目標函數對 αti 可微）。
文章還對這種 soft attention 做了微調：
其中，用來調節 context vector 在 LSTM 中的比重（相對於、 的比重）。
btw，模型的 loss function 加入了 αti 的正則項。
Attention-based NMT■ 論文 | Effective Approaches to Attention-based Neural Machine Translation
■ 連結 | https://www.paperweekly.site/papers/806
■ 源碼 | https://github.com/lmthang/nmt.matlab
文章提出了兩種 attention 的改進版本，即 global attention 和 local attention。先感受一下 global attention 和 local attention 長什麼樣子。
▲ Global Attention
▲ Local Attention
文章指出，local attention 可以視為 hard attention 和 soft attention 的混合體（優勢上的混合），因為它的計算複雜度要低於 global attention、soft attention，而且與 hard attention 不同的是，local attention 幾乎處處可微，易與訓練。 文章以機器翻譯為場景， x1,...,xn 為 source sentence， y1,...,ym 為 target sentence， c1,...,cm 為 encoder 產生的 context vector，objective function 為：
Ct 來源於 encoder 中多個 source position 所產生的 hidden states，global attention 和 local attention 的主要區別在於 attention 所 forcus 的 source positions 數目的不同：如果 attention forcus 全部的 position，則是 global attention，反之，若只 focus 一部分 position，則為 local attention。
由此可見，這裡的 global attention、local attention 和 soft attention 並無本質上的區別，兩篇 paper 模型的差別只是在 LSTM 結構上有微小的差別。
在 decoder 的時刻 t ，在利用 global attention 或 local attention 得到 context vector Ct 之後，結合 ht ，對二者做 concatenate 操作，得到 attention hidden state。
最後利用 softmax 產出該時刻的輸出：
下面重點介紹 global attention、local attention。
1. global attention
global attention 在計算 context vector ct 的時候會考慮 encoder 所產生的全部hidden state。記 decoder 時刻 t 的 target hidden為 ht，encoder 的全部 hidden state 為，對於其中任意，其權重 αts 為：
而其中的，文章給出了四種種計算方法（文章稱為 alignment function）：
四種方法都比較直觀、簡單。在得到這些權重後， ct 的計算是很自然的，即為的 weighted summation。
2. local attention
global attention 可能的缺點在於每次都要掃描全部的 source hidden state，計算開銷較大，對於長句翻譯不利，為了提升效率，提出 local attention，每次只 focus 一小部分的 source position。
這裡，context vector ct 的計算只 focus 窗口 [pt-D,pt+D] 內的 2D+1 個source hidden states（若發生越界，則忽略界外的 source hidden states）。
其中 pt 是一個 source position index，可以理解為 attention 的「焦點」，作為模型的參數， D 根據經驗來選擇（文章選用 10）。 關於 pt 的計算，文章給出了兩種計算方案：
其中 Wp 和 vp 是模型的參數， S 是 source sentence 的長度，易知 pt∈[0,S] 。 權重 αt(s) 的計算如下：
可以看出，距離中心 pt 越遠的位置，其位置上的 source hidden state 對應的權重就會被壓縮地越厲害。
Jointly Learning■ 論文 | Neural Machine Translation by Jointly Learning to Align and Translate
■ 連結 | https://www.paperweekly.site/papers/434
■ 源碼 | https://github.com/spro/torch-seq2seq-attention
這篇文章沒有使用新的 attention 結構，其 attention 就是 soft attention 的形式。文章給出了一些 attention 的可視化效果圖。
上面 4 幅圖中，x 軸代表原始英文句子，y 軸代表翻譯為法文的結果。每個像素代表的是縱軸的相應位置的 target hidden state 與橫軸相應位置的 source hidden state 計算得到的權重 αij，權重越大，對應的像素點越亮。可以看到，亮斑基本處在對角線上，符合預期，畢竟翻譯的過程基本是沿著原始句子從左至右依次進行翻譯。
Attention Is All You Need■ 論文 | Attention Is All You Need
■ 連結 | https://www.paperweekly.site/papers/224
■ 源碼 | https://github.com/Kyubyong/transformer
■ 論文 | Weighted Transformer Network for Machine Translation
■ 連結 | https://www.paperweekly.site/papers/2013
■ 源碼 | https://github.com/JayParks/transformer
作者首先指出，結合了 RNN（及其變體）和注意力機制的模型在序列建模領域取得了不錯的成績，但由於 RNN 的循環特性導致其不利於並行計算，所以模型的訓練時間往往較長，在 GPU 上一個大一點的 seq2seq 模型通常要跑上幾天，所以作者對 RNN 深惡痛絕，遂決定捨棄 RNN，只用注意力模型來進行序列的建模。
作者提出一種新型的網絡結構，並起了個名字 Transformer，裡面所包含的注意力機制稱之為 self-attention。作者驕傲地宣稱他這套 Transformer 是能夠計算 input 和 output 的 representation 而不藉助 RNN 的唯一的 model，所以作者說有 attention 就夠了。
模型同樣包含 encoder 和 decoder 兩個 stage，encoder 和 decoder 都是拋棄 RNN，而是用堆疊起來的 self-attention，和 fully-connected layer 來完成，模型的架構如下：
從圖中可以看出，模型共包含三個 attention 成分，分別是 encoder 的 self-attention，decoder 的 self-attention，以及連接 encoder 和 decoder 的 attention。
這三個 attention block 都是 multi-head attention 的形式，輸入都是 query Q 、key K 、value V 三個元素，只是 Q 、 K 、 V 的取值不同罷了。接下來重點討論最核心的模塊 multi-head attention（多頭注意力）。
multi-head attention 由多個 scaled dot-product attention 這樣的基礎單元經過 stack 而成。
那重點就變成 scaled dot-product attention 是什麼鬼了。按字面意思理解，scaled dot-product attention 即縮放了的點乘注意力，我們來對它進行研究。
在這之前，我們先回顧一下上文提到的傳統的 attention 方法（例如 global attention，score 採用 dot 形式）。
記 decoder 時刻 t 的 target hidden state 為 ht，encoder 得到的全部 source hidden state為，則 decoder 的 context vector ct 的計算過程如下：
作者先拋出三個名詞 query Q、key K、value V，然後計算這三個元素的 attention。
我的寫法與論文有細微差別，但為了接下來說明的簡便，我姑且簡化成這樣。這個 Attention 的計算跟上面的 (*) 式有幾分相似。
那麼 Q、K、V 到底是什麼？論文裡講的比較晦澀，說說我的理解。encoder 裡的 attention 叫 self-attention，顧名思義，就是自己和自己做 attention。
拋開這篇論文的做法，讓我們激活自己的創造力，在傳統的 seq2seq 中的 encoder 階段，我們得到 n 個時刻的 hidden states 之後，可以用每一時刻的 hidden state hi，去分別和任意的 hidden state hj,j=1,2,...,n 計算 attention，這就有點 self-attention 的意思。
回到當前的模型，由於拋棄了 RNN，encoder 過程就沒了 hidden states，那拿什麼做 self-attention 來自嗨呢？
可以想到，假如作為 input 的 sequence 共有 n 個 word，那麼我可以先對每一個 word 做 embedding 吧？就得到 n 個 embedding，然後我就可以用 embedding 代替 hidden state 來做 self-attention 了。所以 Q 這個矩陣裡面裝的就是全部的 word embedding，K、V 也是一樣。
所以為什麼管 Q 叫query？就是你每次拿一個 word embedding，去「查詢」其和任意的 word embedding 的 match 程度（也就是 attention 的大小），你一共要做 n 輪這樣的操作。
我們記 word embedding 的 dimension 為 dmodel ，所以 Q 的 shape 就是 n*dmodel， K、V 也是一樣，第 i 個 word 的 embedding 為 vi，所以該 word 的 attention 應為：
那同時做全部 word 的 attention，則是：
scaled dot-product attention 基本就是這樣了。基於 RNN 的傳統 encoder 在每個時刻會有輸入和輸出，而現在 encoder 由於拋棄了 RNN 序列模型，所以可以一下子把序列的全部內容輸進去，來一次 self-attention 的自嗨。
理解了 scaled dot-product attention 之後，multi-head attention 就好理解了，因為就是 scaled dot-product attention 的 stacking。
先把 Q、K、V 做 linear transformation，然後對新生成的 Q'、K'、V' 算 attention，重複這樣的操作 h 次，然後把 h 次的結果做 concat，最後再做一次 linear transformation，就是 multi-head attention 這個小 block 的輸出了。
以上介紹了 encoder 的 self-attention。decoder 中的 encoder-decoder attention 道理類似，可以理解為用 decoder 中的每個 vi 對 encoder 中的 vj 做一種交叉 attention。
decoder 中的 self-attention 也一樣的道理，只是要注意一點，decoder 中你在用 vi 對 vj 做 attention 時，有一些 pair 是不合法的。原因在於，雖然 encoder 階段你可以把序列的全部 word 一次全輸入進去，但是 decoder 階段卻並不總是可以，想像一下你在做 inference，decoder 的產出還是按從左至右的順序，所以你的 vi 是沒機會和 vj ( j>i ) 做 attention 的。
那怎麼將這一點體現在 attention 的計算中呢？文中說只需要令 score(vi,vj)=-∞ 即可。為何？因為這樣的話：
所以在計算 vi 的 self-attention 的時候，就能夠把 vj 屏蔽掉。所以這個問題也就解決了。
模型的其他模塊，諸如 position-wise feed-forward networks、position encoding、layer normalization、residual connection 等，相對容易理解，感興趣的同學可以去看 paper，此處不再贅述。
總結本文對 attention 的五種結構，即 hard attention、soft attention、global attention、local attention、self-attention 進行了具體分析。五種 attention 在計算複雜度、部署難度、模型效果上會有一定差異，實際中還需根據業務實際合理選擇模型。
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