摘要：傅立葉變換是有史以來最重要的發現之一。不幸的是，由於其公式的複雜，大部分人並不能理解其含義。
那麼，拋開枯燥難懂的數學符號，讓我們用一種新方法來試著理解。這是一個純中文的闡述：
然後，類似於「數學-中文」模式：
現在要上公式了？當然不是！讓我們自己動手，進行一次生動的模擬。
要是一切順利的話，你會驚奇的發現，你已經直觀的明白了為什麼傅立葉變換能夠實現。我們用下列步驟替代了所有的數學分析。
這並不是一次緊張的實驗，而是一次舒心的體驗。讓我們開始吧！
由慕斯得到配方
數學變換的實質是變量關係的改變。根據所算之物，把我們對數量的認知從「單一物體」（沙裡的線條，計數系統）變成「許多10」（小數）。遊戲得分？繼續計數。乘法？拜託，是小數。
傅立葉變換把我們的視角由消費者變成了生產者，從「我看到了什麼？」變成「這是怎麼發生的？」。
換句話說：拿一個慕斯，我們要找出它的配方。
為什麼呢？好吧，配方是飲料的最佳描述。你並不會跟人一滴一滴分析飲料，只會說「我有一杯橘子或是香蕉慕斯」。配方比事物本身更易於歸類、比對和定義。
那麼……拿一杯慕斯，到底怎麼找到配方呢？
嗯，想像一下你周圍有很多過濾器（濾波器）：
把慕斯倒進「香蕉」過濾器（濾波器）裡。提取出了1盎司香蕉。
倒進「橘子」過濾器（濾波器）裡。提取出了2盎司橘子。
倒進「牛奶」過濾器（濾波器）裡。提取出了3盎司牛奶。
倒進「水」過濾器（濾波器）裡。提取出了3盎司水。
我們可以通過混合每種成分得到原先的慕斯。懂了麼？
過濾器（濾波器）必須是相互獨立的。香蕉過濾器（濾波器）只濾出香蕉，沒有其它的任何成分。再多的橘子也不能影響香蕉的讀數。
過濾（濾波）必須是徹底的。如果我們遺漏了一個過濾器（濾波器），就永遠也得不到真正的配方（天哪！那還有個芒果過濾器（濾波器）！）。我們的過濾器（濾波器）必須能確定每種成分的含量。
不同成分之間必須是可合成的。慕斯必須能被分離並重製(餅乾？沒那麼誇張。誰有想要一堆碎屑呢？).不同成分在分離和結合的時候必須是線性的。
周期看世界
傅立葉變換持有一種特別的觀點：要是每一種信號都是周期性的呢（周期性重複）？
哇塞。這個假設太讓人著迷了，可憐的約瑟夫·傅立葉首先提出了這個假設。（現實裡約瑟夫，樓梯能做成環狀的麼？）
忽略數學界持續數十年的爭論，我們希望學生們可以直觀的理解這個概念。額……讓我們略過直觀的部分。
就像我們分析慕斯成分一樣，傅立葉變換可以分析出信號的成分：
完成。這就是大部分教程要教給你的東西。別被嚇到了；想想這個例子「天哪，過五關斬六將，我們終於得到原始碼（DNA）了」。
要是地震波（不同強度和速度的震動）能被分離成幾種成分，建築就能被設計成免於地震威脅的高強度結構。
要是聲波（高低不同的頻率）能被分成幾種成分，我們就能增強想要的部分，削弱不想要的部分。隨機噪聲引起的噼啪聲可以被濾除。相似的「聲譜」可以被比對（音樂識別服務比對的是聲譜而不是原始音頻）。
要是電腦數據能被周期性的描述，那些不重要的信息就能被濾除。這種「有損壓縮」可以急劇減小文件的大小（這就是為什麼JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因）。
要是我們的信號是無線電波，我們可以通過濾波器來聽確定的頻段。在慕斯的世界裡，想像每個人都注意著不同的成分：亞當在尋找蘋果，鮑勃在尋找香蕉，查理想要花椰菜（兄弟，對不住了）。
傅立葉變換在工程領域運用廣泛，但事實上，它是個尋找現象根源的象徵。
多想想周期信號，而不是正弦曲線
我最大的困惑在於「正弦曲線」和「周期信號」的定義區分。
把一個周期的路徑稱作一個「完整正弦曲線」，就像你把一個諺語叫做「漢字的集合」。你選擇了錯誤的細節級別。諺語包含了複雜的含義，而不是可以拆分的漢字！
傅立葉變換是關於周期（不是含有一個D形的正弦曲線）和歐拉公式的變換：
我們必須用虛數做周期運動麼？當然不。即使那麼做既方便又簡潔。我們把信號分成實數和虛數的部分，但別忘了前提是：我們在做周期運動。
沿著周期路徑
我們一邊用電話聊天，一邊在腦海裡畫圓（你答應了的！）。我該說什麼呢？
我可以說「2英寸，起始於45度，1圈兒每秒，開始吧！」。半秒之後，我們應該到達了同一點：起始位置+經過角度=45+180=225度（2英寸半徑）。
每個圓周路徑都需要設定大小、速度和起始角度（幅度/周期/相位）。我們還可以把它們合到一塊：想像用不同速度繞圈兒跑的小摩託車。
所有周期的位置信息加到一起就是原本的信號，一如所有的成分混合就得到了原本的慕斯一樣。
周期的時間順序顯示，開始於0Hz。周期[0 1]的含義是
現在是棘手的部分：
然後呢？[0 1]是1Hz周期.
現在加入2Hz周期，併疊加。[0 1 1]意味著「0Hz值為零，1Hz時值為1，2Hz時值為1」。
哇塞。我們的小摩託車越跑越快了：綠線代表了1Hz和2Hz，藍線是疊加後結果。點選綠色複選框可以讓結果看起來更清晰。混合好的「味道」是一個傾斜的函數，從最大值開始，降到最低值。
黃點是我們測量信號的時刻。已經確定了3個周期信號（0Hz, 1Hz, 2Hz），每個點為信號值的1/3.在這個例子裡，周期[0 1 1]生成了時間量[2 -1 -1],從最大值（2）開始，然後降到最低（-1）.
哦！剛才忘了考慮相位角了，現在我們要把它加上！加上數值：相位角。[0 1:45]是從45度開始的，1Hz的周期函數。
它是[0 1]的進階版本。時域上，我們用[.7 -.7]替換[1 -1]。因為我們的周期函數並不是沿著我們的測量時方向上，它們是還在運動的點（這是可被設置的）。
通過改變周期信號的頻率，強度和相位，傅立葉變換可以匹配任何時域信號。
信號所謂「時域觀測」或是「頻域成分」已成為一種抽象的概念。
說夠了，就讓我們把它講明白吧！你可以選擇模擬器裡任何時間或類型的周期函數。如果它是時間表示的，你看到的許多構成所要周期函數的點（其集合被稱為波）。
但是——難道在黃色的時間間隔裡不包括任何特殊的點麼？當然包括。但是我們怎麼知道沒有測量的時候，信號是按照直線，曲線還是折線穿入另一象限呢？它在我們所需的等間隔時刻出現在我們希望的位置。
創造一個脈衝信號
我們可以用周期函數製造出一個脈衝信號麼，像是(4 0 0 0)？（用括號表示時間點）
儘管脈衝看起來很煩人（難道只是煩人？），還是要考慮周期函數的複雜性。我們的周期成分必須對齊（最大值為4），然後向外傳播，每個周期函數都有其它函數可與其抵消。每個顯示為0的點，都是因為多個周期函數在此獲得平衡（你並不能關掉某個函數）。
讓我們看看每個時間點：
在0時刻，每個周期函數都處於最大值，（4？？？）由4個周期函數(0Hz 1Hz 2Hz 3Hz)疊加而成，每個函數的幅值都是1，而相位角都為0(換言之, 1 + 1 + 1 + 1 = 4)。
在之後的時刻(t = 1, 2, 3)，所有周期函數的幅值必須相互抵消。
下面是數值為0的秘訣：當周期函數的值處於對稱軸的兩端（南和北，東和西，等等。），它們的和為0（要是3個周期函數均勻的分布在0，120和240度，它們就能相互抵消）。
想像許多繞圈旋轉的點。先面試每個點在每個時刻的位置：
時刻 0 1 2 3
--
0Hz:0 0 0 0
1Hz:0 1 2 3
2Hz:0 2 0 2
3Hz:0 3 2 1
要注意，3Hz的周期信號從0開始，然後到了3，然後到了6（只有4個位置，6Mod，然後是9（9Mod4=1）。
每個周期長度為4個單位，周期函數在2個單位時的位置既不在一條線上（不同於0, 4, 8…），也不再相反的位置（不同於2, 6, 10…）。
好了。讓我們看看每個時間點的情況：
時刻 0：所有的周期函數都處於最大值（其和為4）
時刻 1：1Hz和3Hz函數值相互抵消（位置1和3是相反的值），0Hz和2Hz函數值相互抵消。最後結果為0.
時刻 2：在0時刻，1Hz和3Hz函數值相等，在2時刻，0Hz和2Hz函數值相等（相反的值）。相加結果還是0.
時刻 3：0Hz和2Hz函數值相互抵消.1Hz和3Hz函數值相互抵消.
時刻4（重複時刻0的情況）：所有函數值相等。
秘訣在於讓相互獨立的函數相互抵消(0Hz 和 2Hz, 1Hz 和 3Hz)，或是讓同方向上數值和相互抵消（0Hz + 2Hz 和 1Hz + 3Hz）。
當每個周期屬性相等，相位為0時，就可以對齊並消去後面的值。（我並不能很好的證明這一點——有人能嗎？——但你可以自己看到其發生。試試[1 1], [1 1 1], [1 1 1 1]，你會注意到一個脈衝波峰：(2 0), (3 0 0), (4 0 0 0)).
這裡直觀的顯示了怎麼對齊，接下來是消去相反值：
改變峰值時間
t=0時，什麼都沒有發生。接下來換到(0 4 0 0)？
應該和(4 0 0 0)看起來差不多，但是周期函數必須在t=1時（當前時刻的1s後）對齊。然後要考慮相位。
想像有4個人參與的賽跑。賽跑開始時，4個人都在起跑線上，（4 0 0 0）。沒意思。
怎麼能讓每個人都同時到達終點呢？很簡單。只要讓他們不停的你追我趕就行了。也許奶奶在終點線前兩英尺，Usain Bolt離線還有100米，他們可以拉著手一起穿過終點線。
相位變化，起始角度就是周期信號世界裡的延遲。接下來要說怎麼調整起始位置，來者每個周期都延遲1秒：
0Hz周期函數不發生移動，所以它已經對齊了
1Hz函數在4秒完成一次往復，所有延時一秒意味著1/4輪。相位延遲90度（-90），然後它在t=1時刻到達相位0，其最大值。
2Hz函數的變化速度是1Hz函數的兩倍，所以要兩倍的角度來滿足要求（-180或180，分別沿著不同的方向）。
3Hz函數的速度是1Hz函數的3倍，所以要有3倍的移動距離（-270或90度的相位改變）
如果時間點(4 0 0 0)是由函數[1 1 1 1]產生，那麼（0 4 0 0）則是由[1 1:-90 1:180 1:90]產生。（ 注意： 此處用1Hz來表示一個周期運動經過的時間）。
天吶——我們在腦子裡算出了周期函數！
幹擾可視化是與之類似的，除了要在t=1時刻進行對齊。
試一下這個：你能想像出（0 0 4 0），即2秒延時時候的情況麼？0Hz沒有相位。1Hz是180度，2Hz是360度（也就是0度），3Hz是540度（即180度），結果為[1 1:180 1 1:180].
完整的傅立葉變換
事實上：我們的信號只不過是一大堆脈衝信號的疊加！只要得到每個時刻組分，你就能知道整個信號的成分。
傅立葉變換通過頻率得到「配方」：
把連續的信號（a b c d）分成不同的時刻：(a 0 0 0) (0 b 0 0) (0 0 c 0) (0 0 0 d)
任意頻率（例如2Hz），試驗配方是「a/4 + b/4 + c/4 + d/4"（每個尖峰的強度被除以頻率數目）
等等！還要對每個脈衝設置延時（每一秒延時的角度取決於頻率）。
每個頻率真正的配方=a/4 (無延時) + b/4 (1秒延時) + c/4 (2秒延時) + d/4 (3秒延時)。
遍歷每個頻率就能得到完整的變換結果。
這就是從「數學文字」到真正數學的過程：
幾個要點：
N=時間樣本的數量
n=當前運算的樣本編號(0 .. N-1)
xn=n時刻信號值
k=當前頻率（0Hz到N-1Hz）
Xk=信號中頻率k的值（幅度和相位，一個複數）
1/N被用於反變換（從時域信號轉化為頻域信號）。這是可以實現的，儘管我更喜歡用1/N進行正變換，它表示了脈衝信號的正真大小。你也在變換過程（正反變換中仍含有1/N）中使用1/sqrt(N)。
n/N是我們經過的時間比例。2πk是單位為弧度/秒的速度，e^-ix是反向經過的路徑。合起來就是以當前時間和速度經過的實際路程。
傅立葉變換的原始方程只告訴你「加上複數」。很多變成語言並不支持直接使用複數，因此要把它們轉化成直角坐標系，然後相加。
讓我們開始吧
這是我遇到的最有挑戰性的課題。傅立葉變換涵蓋了幾個要點（離散/連續/有限長/無限長）的高深數學（狄拉克δ函數），很容易遺漏掉一些細節。這真的很挑戰我的認知。
但仍有簡單的類比來說明這些——我拒絕用別的方式思考。無論是慕斯還是Usain Bolt & Granny穿過終點線，都能讓我們輕易的理解這一點。這個比喻是有缺陷的，但不算壞：它是一個木筏使用，一旦我們過河就把它們留下。
我意識到我自己的理解是如何薄弱，我沒辦法在自己的腦海裡想出（1 0 0 0 ）的變換。對我來說，就像，我懂加法。但是，「1+1+1+1」到底等於幾呢？為什麼不呢？難道這些最簡單的運算不該有個直觀的展示麼？
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