手算開根號

2021-02-14 賢川風月

       小學三年級之前大家就已經學過加減乘除列豎式的計算方法了，我記得那時候讓我最頭疼的家庭作業就是列豎式計算，做一道題就相當於把乘法口訣表默背一遍，一頁作業做下來估計這輩子都不可能忘記乘法口訣表了，記憶效果特別好。等到了四年級就不用再學豎式計算了，考試也不考了，數學學起來反而輕鬆不少。不過從那以後幾乎沒再列過豎式了，簡單的可以直接口算，稍微難一點的就可以用計算器了。所以我的數學基本只會加減乘除，別的都不會。

       手算開根號數學老師從來沒教過，因為這部分內容沒有被劃入到義務教育考試大綱裡面，教科書裡沒有，老師也不會去教，學生也不知道有這麼個東西。雖然數學老師不教，但是它其實是存在的。我第一次聽說還是高中物理老師教的，我聽完，感覺，哇！好神奇！

       手算開根號其實在公元前一世紀我國的《九章算術》裡面就已經介紹過了，國外要六百年以後才發現開根號的算法，看來我國古代的數學比國外的要先進得多。

       接下來我講一下手算開根號的算法。拿最簡單無理數根號2來演示，如下圖

第一步用2減去不大於2的最小整數平方，就是1，把差1寫在橫線下面，然後1後面補兩個0，為啥補兩個0呢，因為兩位數開根號才是一位數。補完0以後，在100的左邊寫下1的兩倍也就是2，把個位移到十位，也就是變成2X，這裡的X和所求的根號結果的後面一位數是一樣的，叫做試商，然後找出最大的X使得X×2X不大於100。X為4，用4補上X的位置。用4×24得96置於100之下，得兩者的差4，寫在橫線下。重複剛剛的步驟，把4後面補兩個0變成400，左邊寫14的兩倍28，個位變十位，再加上一個試商作個位，所得值乘上試商使不大於400，得出最大的試商為1，然後把281×1得281放在400下面，兩者的差119放在橫線下面。再重複一遍，得最大試商為4.。。。於是根號2的結果就是1.414。根號2為無理數，所以這個過程可以一直繼續，直到所要求的精度為止。。。

       為什麼這麼算呢?

       初中的時候大家都學過二次項展開公式

假設這個式子等於A，a是A的整數部分，b是小數部分，則

所以a要乘2，b原來是小數要變成個位，a也要個位變十位，擴大10倍，b就是所謂的試商。若b是無理數，則取b的最高位作為試商。然後把A擴大100倍，重複以上的過程就可以算出小數點後的更高位。

       立方根也可以同樣求出，只不過算法更複雜一點，有興趣的可以百度一下。

       求方根還有個標準公式法，利用公式一步步迭代求出每一位，還可以求任意次的根方，比列豎式更直觀一點，不過算起來更麻煩。如果是求數值解的話還有個牛頓迭代公式，適用於用計算機求近似解。

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