1.【關於自由度】
我的理解，自由的程度。
【在統計學中，自由度(degree of freedom)指的是計算某一統計量時，取值不受限制的變量個數。——百度百科】
舉個例子，
①這裡有5個變量 X₁，X₂，X₃，X₄，X₅
請你計算它們的平均值
μ=（X₁+X₂+X₃+X₄+X₅）/5
因為，【沒有條件限制】這5個變量的取值
所以5個變量可以任意取值
μ=f（ X₁，X₂，X₃，X₄，X₅）
根據自由度的定義，此時這5個數的自由度是5。
②這裡有5個數，平均值為 10
易知，X₁+X₂+X₃+X₄+X₅=50
⇒ X₅=50 -（X₁+X₂+X₃+X₄）
根據經驗我們知道，在總和為50的限制下，先任意取4個數，最後一個值是固定的。
5個數可寫為：
X₁，X₂，X₃，X₄，［50 -（X₁+X₂+X₃+X₄）］
在平均值已知的情況下，5個數裡面實際上可自由變動（任意取值）的數只有有4個
所以，這5個數的自由度為4
我們發現，多了1個限制條件， 「平均值為10」，自由度就 -1
【通常df=n-k。df為自由度，n為樣本數量，k為被限制的條件數或變量個數，或計算某一統計量時用到其它獨立統計量的個數。——百度百科】
限制的條件越多，自由度就越低
這和我們對實際生活的理解也是一致的。
2.【關於樣本方差中的自由度】
舉個例子，
研究，某中學整個高三年級學生的IQ
我們研究的總體是
【整個高三年級的每一位學生的IQ】
情況①：我們精確調查每一位學生IQ，
我們可以算出，
μ=∑x / N
σ²=∑（X-μ）² / N
解釋一下 σ² ：
（X-μ）是原始分數到均值的距離，也就是，原始分數相對於均值的【偏離程度】
那麼（X-μ）²是一個【放大的偏離程度】，實質上就是【偏離程度】
所以，σ²=∑（X-μ）² / N
就是一個【平均偏離程度】
分母為N是因為
全體學生IQ都是
【取值不受限制的】即【自由度為N】
【它們共同的影響了μ的大小】
即每個人都對當前的偏離程度做出了貢獻
情況②，我們偷懶，抽樣調查。
我們研究一部分人來代表總體情況。
我們抽取了一個樣本容量為n的樣本。
此時，
樣本平均數=n個學生IQ之和 / n
【注意】
此時【樣本自由度】不再為n
因為，樣本是從總體中抽取的，
【總體的情況限制了樣本】
具體來說，就是
【樣本均值受限】
雖然你可能直觀的感受是：
每一次抽樣，算出的樣本均值都不同啊，
哪裡被限制了？？？
理由如下：
從直覺上我們都認同：
樣本可以代替總體，
樣本均值可以代替總體均值，
【樣本均值是圍繞總體均值上下波動的】
（是這樣的直覺吧？）
不僅是直覺，書上也是這麼說的
「中心極限定理 ：對於任何均值為μ，標準差為σ的總體，樣本大小為n的［樣本均值的分布］的均值為μ，標準差為σ/√n，並且當n趨於無窮大時，接近正態分布」
——行為科學統計精要，第八版，p114
它告訴我們，【樣本均值】圍繞總體均值上下波動。【樣本均值分布的均值】與μ相等
所以
【樣本均值雖然沒被限制為一個具體值，但它被限制在一個範圍內】
【樣本均值是趨近 μ 的】
所以此時參考前面的，
【X₁+X₂+X₃+X₄+X₅=50】
得出，X₁+X₂+X₃+X₄+……+Xₙ≈nμ
Xₙ≈nμ-（X₁+X₂+X₃+X₄+……Xₙ₋₁）
n個數裡，只有n-1個數是可以任意取值
所以，我們得出
【樣本自由度】=n-1
此時，樣本方差為：
S²=∑（X-μ）² / n-1
因為，
樣本裡真正在自由變動的只有（n-1）個數
【所有的偏離程度】，都是，且僅是，那
（n-1）個數造成的。
所以【所有的偏離程度】全算在在他們頭上
所以，∑（X-μ）² / n-1
這樣才能精確算出每個【做出貢獻的變量】的平均偏離程度，若除以n會導致
【實際在變動的變量】的偏離程度偏小
即，會導致要估計的 σ² 偏小。
【這麼說吧】
一個樣本裡，共有n個數，你除以n，的的確確是可以精確的算出了，這n個值的方差。
但是，你的【目的】，並不是為了求某一個特定樣本的方差，你是想通過樣本方差來估算總體方差。
正是因為你有了這一目的，才有「總體」和「樣本」概念，才會讓樣本受限，從而導致自由度減小
如果你沒有這一目的，你抽出來的n個值就不再是一個樣本了，而是一個總體
就像，
【某一個學校高三年紀全體學生IQ】可以是一個總體，自由度為N
當你研究【全省高三學生的IQ】時，
【某一個學校高三年紀全體學生IQ】
就包含在了【全省高三學生的IQ】裡
它就受制於【全省高三學生的IQ】
相對的，自由度就會改變。