線性判別分析LDA(Linear Discriminant Analysis)

1. 問題

之前我們討論的PCA、ICA也好，對樣本數據來言，可以是沒有類別標籤y的。回想我們做回歸時，如果特徵太多，那麼會產生不相關特徵引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維，但PCA沒有將類別標籤考慮進去，屬於無監督的。

比如回到上次提出的文檔中含有「learn」和「study」的問題，使用PCA後，也許可以將這兩個特徵合併為一個，降了維度。但假設我們的類別標籤y是判斷這篇文章的topic是不是有關學習方面的。那麼這兩個特徵對y幾乎沒什麼影響，完全可以去除。

再舉一個例子，假設我們對一張100*100像素的圖片做人臉識別，每個像素是一個特徵，那麼會有10000個特徵，而對應的類別標籤y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這麼多特徵不僅訓練複雜，而且不必要特徵對結果會帶來不可預知的影響，但我們想得到降維後的一些最佳特徵（與y關係最密切的），怎麼辦呢？

2. 線性判別分析（二類情況）

回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個n維特徵的訓練樣例（i從1到m），每個x(i)對應一個類標籤。我們就是要學習出參數，使得（g是sigmoid函數）。

現在只考慮二值分類情況，也就是y=1或者y=0。

為了方便表示，我們先換符號重新定義問題，給定特徵為d維的N個樣例，，其中有個樣例屬於類別，另外個樣例屬於類別。

現在我們覺得原始特徵數太多，想將d維特徵降到只有一維，而又要保證類別能夠「清晰」地反映在低維數據上，也就是這一維就能決定每個樣例的類別。

我們將這個最佳的向量稱為w（d維），那麼樣例x（d維）到w上的投影可以用下式來計算

這裡得到的y值不是0/1值，而是x投影到直線上的點到原點的距離。

當x是二維的，我們就是要找一條直線（方向為w）來做投影，然後尋找最能使樣本點分離的直線。如下圖：

從直觀上來看，右圖比較好，可以很好地將不同類別的樣本點分離。

接下來我們從定量的角度來找到這個最佳的w。

首先我們尋找每類樣例的均值（中心點），這裡i只有兩個

由於x到w投影后的樣本點均值為

由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點的投影。

什麼是最佳的直線（w）呢？我們首先發現，能夠使投影后的兩類樣本中心點儘量分離的直線是好的直線，定量表示就是：

J(w)越大越好。

但是只考慮J(w)行不行呢？不行，看下圖

樣本點均勻分布在橢圓裡，投影到橫軸x1上時能夠獲得更大的中心點間距J(w)，但是由於有重疊，x1不能分離樣本點。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點。因此我們還需要考慮樣本點之間的方差，方差越大，樣本點越難以分離。

我們使用另外一個度量值，稱作散列值（scatter），對投影后的類求散列值，如下

從公式中可以看出，只是少除以樣本數量的方差值，散列值的幾何意義是樣本點的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。

而我們想要的投影后的樣本點的樣子是：不同類別的樣本點越分開越好，同類的越聚集越好，也就是均值差越大越好，散列值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S來度量，最終的度量公式是

接下來的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。

先把散列值公式展開

我們定義上式中中間那部分

這個公式的樣子不就是少除以樣例數的協方差矩陣麼，稱為散列矩陣（scatter matrices）

我們繼續定義

稱為Within-class scatter matrix。

那麼回到上面的公式，使用替換中間部分，得

然後，我們展開分子

稱為Between-class scatter，是兩個向量的外積，雖然是個矩陣，但秩為1。

那麼J(w)最終可以表示為

在我們求導之前，需要對分母進行歸一化，因為不做歸一的話，w擴大任何倍，都成立，我們就無法確定w。因此我們打算令，那麼加入拉格朗日乘子後，求導

其中用到了矩陣微積分，求導時可以簡單地把當做看待。

如果可逆，那麼將求導後的結果兩邊都乘以，得

這個可喜的結果就是w就是矩陣的特徵向量了。

這個公式稱為Fisher linear discrimination。

等等，讓我們再觀察一下，發現前面的公式

那麼

代入最後的特徵值公式得

由於對w擴大縮小任何倍不影響結果，因此可以約去兩邊的未知常數和，得到

至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，這就是Fisher於1936年提出的線性判別分析。

看上面二維樣本的投影結果圖：

3. 線性判別分析（多類情況）

前面是針對只有兩個類的情況，假設類別變成多個了，那麼要怎麼改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？

我們之前討論的是如何將d維降到一維，現在類別多了，一維可能已經不能滿足要求。假設我們有C個類別，需要K維向量（或者叫做基向量）來做投影。

將這K維向量表示為。

我們將樣本點在這K維向量投影后結果表示為，有以下公式成立

為了像上節一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間散列度和類內散列度來考慮。

當樣本是二維時，我們從幾何意義上考慮：

其中和與上節的意義一樣，是類別1裡的樣本點相對於該類中心點的散列程度。變成類別1中心點相對於樣本中心點的協方差矩陣，即類1相對於的散列程度。

為

的計算公式不變，仍然類似於類內部樣本點的協方差矩陣

需要變，原來度量的是兩個均值點的散列情況，現在度量的是每類均值點相對於樣本中心的散列情況。類似於將看作樣本點，是均值的協方差矩陣，如果某類裡面的樣本點較多，那麼其權重稍大，權重用Ni/N表示，但由於J(w)對倍數不敏感，因此使用Ni。

其中

是所有樣本的均值。

上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計算的。下面我們看樣本點投影后的公式改變：

這兩個是第i類樣本點在某基向量上投影后的均值計算公式。

下面兩個是在某基向量上投影后的和

其實就是將換成了。

綜合各個投影向量（w）上的和，更新這兩個參數，得到

W是基向量矩陣，是投影后的各個類內部的散列矩陣之和，是投影后各個類中心相對於全樣本中心投影的散列矩陣之和。

回想我們上節的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母是每個類自己的散列度。現在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個對描述類別間的分散程度沒有用），而是求每類中心相對於全樣本中心的散列度之和。

然而，最後的J(w)的形式是

由於我們得到的分子分母都是散列矩陣，要將矩陣變成實數，需要取行列式。又因為行列式的值實際上是矩陣特徵值的積，一個特徵值可以表示在該特徵向量上的發散程度。因此我們使用行列式來計算（此處我感覺有點牽強，道理不是那麼有說服力）。

整個問題又回歸為求J(w)的最大值了，我們固定分母為1，然後求導，得出最後結果（我翻查了很多講義和文章，沒有找到求導的過程）

與上節得出的結論一樣

最後還歸結到了求矩陣的特徵值上來了。首先求出的特徵值，然後取前K個特徵向量組成W矩陣即可。

注意：由於中的 秩為1，因此的秩至多為C（矩陣的秩小於等於各個相加矩陣的秩的和）。由於知道了前C-1個後，最後一個可以有前面的來線性表示，因此的秩至多為C-1。那麼K最大為C-1，即特徵向量最多有C-1個。特徵值大的對應的特徵向量分割性能最好。

由於不一定是對稱陣，因此得到的K個特徵向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。

4. 實例

將3維空間上的球體樣本點投影到二維上，W1相比W2能夠獲得更好的分離效果。

PCA與LDA的降維對比：

PCA選擇樣本點投影具有最大方差的方向，LDA選擇分類性能最好的方向。

LDA既然叫做線性判別分析，應該具有一定的預測功能，比如新來一個樣例x，如何確定其類別？

拿二值分來來說，我們可以將其投影到直線上，得到y，然後看看y是否在超過某個閾值y0，超過是某一類，否則是另一類。而怎麼尋找這個y0呢？

看

根據中心極限定理，獨立同分布的隨機變量和符合高斯分布，然後利用極大似然估計求

然後用決策理論裡的公式來尋找最佳的y0，詳情請參閱PRML。

這是一種可行但比較繁瑣的選取方法，可以看第7節（一些問題）來得到簡單的答案。

5. 使用LDA的一些限制

1、 LDA至多可生成C-1維子空間

LDA降維後的維度區間在[1,C-1]，與原始特徵數n無關，對於二值分類，最多投影到1維。

2、 LDA不適合對非高斯分布樣本進行降維。

上圖中紅色區域表示一類樣本，藍色區域表示另一類，由於是2類，所以最多投影到1維上。不管在直線上怎麼投影，都難使紅色點和藍色點內部凝聚，類間分離。

3、 LDA在樣本分類信息依賴方差而不是均值時，效果不好。

上圖中，樣本點依靠方差信息進行分類，而不是均值信息。LDA不能夠進行有效分類，因為LDA過度依靠均值信息。

4、 LDA可能過度擬合數據。

6. LDA的一些變種

1、 非參數LDA

非參數LDA使用本地信息和K臨近樣本點來計算,使得是全秩的，這樣我們可以抽取多餘C-1個特徵向量。而且投影后分離效果更好。

2、 正交LDA

先找到最佳的特徵向量，然後找與這個特徵向量正交且最大化fisher條件的向量。這種方法也能擺脫C-1的限制。

3、 一般化LDA

引入了貝葉斯風險等理論

4、 核函數LDA

將特徵，使用核函數來計算。

7. 一些問題

上面在多值分類中使用的

是帶權重的各類樣本中心到全樣本中心的散列矩陣。如果C=2（也就是二值分類時）套用這個公式，不能夠得出在二值分類中使用的。

因此二值分類和多值分類時求得的會不同，而意義是一致的。

對於二值分類問題，令人驚奇的是最小二乘法和Fisher線性判別分析是一致的。

下面我們證明這個結論，並且給出第4節提出的y0值得選取問題。

回顧之前的線性回歸，給定N個d維特徵的訓練樣例（i從1到N），每個對應一個類標籤。我們之前令y=0表示一類，y=1表示另一類，現在我們為了證明最小二乘法和LDA的關係，我們需要做一些改變

就是將0/1做了值替換。

我們列出最小二乘法公式

w和是擬合權重參數。

分別對和w求導得

從第一個式子展開可以得到

消元後，得

可以證明第二個式子展開後和下面的公式等價

其中和與二值分類中的公式一樣。

由於

因此，最後結果仍然是

這個過程從幾何意義上去理解也就是變形後的線性回歸（將類標籤重新定義），線性回歸後的直線方向就是二值分類中LDA求得的直線方向w。

好了，我們從改變後的y的定義可以看出y>0屬於類，y<0屬於類。因此我們可以選取y0=0，即如果，就是類，否則是類。

寫了好多，挺雜的，還有個topic模型也叫做LDA，不過名字叫做Latent Dirichlet Allocation

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