歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，今天繼續來總結下特殊多邊形的各類題型：正方形中有關定義和性質的題型，相信經過這一系列題型的解讀與歸納，你可以自學初三數學了，也可以對之前學習的知識做一個全面的梳理。
【知識梳理】
1.定義：有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形；
2.性質
（1）邊：四邊形相等；
（2）角：四角相等且是直角；
（3）對角線：相等且互相垂直平分，且對平對角。
（4）正方形是特殊的平行四邊形、特殊的菱形、特殊的矩形，它具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質；
（5）對稱性：
①正方形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心，
②正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線和過每邊組對邊中點的兩條直線；
（6）正方形的面積=邊長×邊長=對角線乘積的一半，且對角線是邊長的√2倍；
【典型例題】
例1.如圖，菱形ABCD的面積為120平方釐米，正方形AECF的面積為50平方釐米，則菱形的邊長為_______平方釐
米.
【解析】
由正方形的面積可得正方形對角線長度，通過對角線及菱形面積可得菱形對角線長度，進而可得菱形邊長，
解：
連結AC、BD交於點O，由對稱性知，菱形的對角線BD過點E、F，由菱形性質知，BD⊥AC，∴BD×AC÷2=120，又正方形的面積為50，所以，AE＝5√2，由勾股定理可得，AO＝EO＝5，∴AC＝10，∴BD＝24，∴BO＝12，由勾股定理得AB＝13.
例2．以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數是_______．
【解析】
分等邊△ADE在正方形的內部和外部兩種情況，利用正方形性質分別求解可得．
解：如圖1，
①若△ADE在正方形外部時，∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，
則∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
②若△ADE在正方形內部時，如圖2，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．
故答案為：30°或150°．
例3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點E、F分別在AD、DC上，AE=DF=2，BE與AF相交於點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為_______．
【解析】
根據正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然後利用「邊角邊」證明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，進一步得∠AGE=∠BGF=90°，從而知GH=BF/2，利用勾股定理求出BF的長即可得出答案．
解：
∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵點H為BF的中點，∴GH=BF/2，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，由勾股定理可得BF=√34，∴GH=BF/2=√34/2，
例4．如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交於點G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為______．
【解析】
根據面積之比得出△BGC的面積等於正方形面積的1/6，進而依據△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長，進而得出其周長．
解：
∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，正方形面積為9∴陰影部分的面積為6，∴空白部分的面積為9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為1.5，設BG=a，CG=b，則ab=3，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周長=+3.
例5．在正方形ABCD中，對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF，連接AE、AF、CE、CF，如圖所示．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）試判斷四邊形AECF的形狀，並說明理由．
【解析】（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定證明即可；
（2）四邊形AECF是菱形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷；
證明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）連接AC，四邊形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．
例6．如圖，在正方形ABCD中，點E（與點B、C不重合）是BC邊上一點，將線段EA繞點E順時針旋轉90°到EF，過點F作BC的垂線交BC的延長線於點G，連接CF．
（1）求證：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，△ABE的面積是△ECF面積的2倍，求BE．
【解析】
（1）根據同角的餘角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等；
（2）利用全等三角形的性質得出AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，求出S△EGF=2S△ECF，根據三角形面積得出EC=CG=1，根據正方形的性質得出BC=AB=2，即可求出答案．
（1）證明：∵EP⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，∴△ABE≌△EGF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△EGF，AB=2，∴AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，∵S△ABE=2S△ECF∴S△EGF=2S△ECF，
∴EC=CG=1，∵四邊形ABCD是正方形，∵BC=AB=2，∴BE=2﹣1=1．
例7．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF於F．求證：AE=EF．
【解析】
先取AB的中點H，連接EH，根據∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根據E是BC的中點，H是AB的中點，得出BH=BE，AH=CE，最後根據CF是∠DCG的角平分線，得出∠AHE=∠ECF=135°，從而證出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．注意與例6的區別，例6是「一線三垂直模型」，例7是旋轉的「空翻模型」，輔助線不能過點F做BG的垂線。
證明：
取AB的中點H，連接EH；∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中點，H是AB的中點，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分線，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．
例8．如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），點Q在CD邊上，且BP=CQ，連接AP、BQ交於點E，將△BQC沿BQ所在直線對摺得到△BQN，延長QN交BA的延長線於點M．
（1）求證：AP⊥BQ；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的長；
【解析】
（1）證明△ABP≌△BCQ，則∠BAP=∠CBQ，從而證明∠CBQ+∠APB=90°，進而得證；
（2）設MQ=MB=x，則MN=x﹣2．在直角△MBN中，利用勾股定理即可列方程求解；
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC． ∴△ABP≌△BCQ，∴∠BAP=∠CBQ．∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；
（2）解：∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP，∴BP=2，由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．
又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB．設MQ=MB=x，則MN=x﹣2．在直角△MBN中，由勾股定理可知：MB*2=BN*2+MN*2，即x*2=3*2+（x﹣2）*2，解得：x=13/4，即MQ=13/4