黎曼在《論小於給定數值的素數個數》的論文中，給出的是素數計數函數π（x），可以進一步利用π（x）推導出素數公式，但是求解π（x）依賴於黎曼函數的非平凡零點。
在1859年，黎曼向柏林科學院提交了一份標題為《論小於給定數值的素數個數》的論文，該論文僅僅只有八頁，卻讓接下來的數學家忙碌了一百多年。
黎曼在論文中引用了6個假設，6個假設在黎曼的言語中，用了類似「顯而易見」等詞彙提出來，或者直接拿來用不給任何提示。
後來經過幾十年的時間，其中五個「假設」被其他數學家證明為定理，只有最後一個「黎曼猜想」還未得到證明，而這個猜想，正關乎著素數的分布規律。
黎曼的論文中，以黎曼猜想為前提，黎曼得到了一個素數計數函數π（x）：
π（x）表示「小於x的素數個數」；
試想，如果整數x為素數，那麼π（x+1）-π（x）的值就是「1」，如果x不是素數，那麼差值就是0；於是素數計數函數π（x），幾乎就相當於素數分布函數了。
在黎曼的論文中，他還構造了一個輔助函數J（x），函數J（x）是求解函數π（x）的關鍵，而函數J（x）當中，黎曼函數的所有非平凡零點「ρ」，才是整個函數的核心部分。
根據黎曼的論文，函數π（x）和函數J（x）成立的前提，就是「黎曼函數的所有非平凡零點，均在直線x=1/2」，如果黎曼猜想不成立，那麼以上素數計數函數π（x）也將不成立。
所以，黎曼猜想關係著素數的分布情況，素數分布到底有沒有規律可循，也是黎曼函數的非平凡零點決定的。
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