來源於我的R語言讀書筆記：
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1.二項分布Binomial distribution：binom
二項分布指的是N重伯努利實驗，記為X ~ b(n,p)，E(x)=np,Var(x)=np(1-p)
pbinom(q,size,prob)， q是特定取值，比如pbinom(8,20,0.2)指第8次伯努利實驗的累計概率。size指總的實驗次數，prob指每次實驗成功發生的概率
dbinom(x,size,prob), x同上面的q同含義。dfunction()對於離散分布來說結果是特定值的概率，對連續變量來說是密度（Density）
rbinom(n, size, prob)，產生n個b(size,prob)的二項分布隨機數
qbinom(p, size, prob),quantile function 分位數函數。
分位數：
若概率0<p<1，隨機變量X或它的概率分布的分位數Za。是指滿足條件p(X>Za)=α的實數。如t分布的分位數表，自由度f=20和α=0.05時的分位數為1.7247。 --這個定義指的是上側α分位數
α分位數：
實數α滿足0 <α<1 時，α分位數是使P{X< xα}=F(xα)=α的數xα
雙側α分位數是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的數λ1、使 P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的數λ2。
qbinom是上側分位數，如qbinom(0.95,100,0.2)=27,指27之後P(x>=27)>=0.95。即對於b(100,0.2)為了達到0.95的概率至少需要27次重複實驗。
2.負二項分布negative binomial distribution （帕斯卡分布）nbinom
擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合 { 3, 4, 5, 6, ... } 。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變量。
dnbinom(4,3,1/6)=0.0334898，四次連續三次1的概率為這個數。
概率函數為f(k;r,p)=choose(k+r-1,r-1)*p^r*(1-p)^k, 當r=1時這個特例分布是幾何分布
rnbinom(n,size,prob,mu) 其中n是需要產生的隨機數個數，size是概率函數中的r，即連續成功的次數，prob是單詞成功的概率，mu未知..(mu是希臘字母υ的讀音)
3.幾何分布Geometric Distribution,geom
n次伯努利試驗，前n-1次皆失敗，第n次才成功的機率
dgeom(x,prob),注意這裡的x取值是0:n，即dgeom(0,0.2)=0.2,以上的二項分布和負二項分布也是如此。
ngeom(n,prob)
4.超幾何分布Hypergeometric Distribution，hyper
它描述了由有限個(m+n)物件中抽出k個物件，成功抽出指定種類的物件的次數（不歸還）。
概率：p(x) = choose(m, x) choose(n, k-x) / choose(m+n, k) for x = 0, ..., k.
當n=1時，這是一個0-1分布即伯努利分布，當n接近無窮大∞時，超幾何分布可視為二項分布
rhyper(nn,m,n,k),nn是需要產生的隨機數個數，m是白球數（計算目標是取到x個白球的概率），n是黑球數，k是抽取出的球個數
dhyper(x, m, n, k)
5.泊松分布 Poisson Distribution,pois
p(x) = lambda^x exp(-lambda)/x!
for x = 0, 1, 2, .... The mean and variance are E(X) = Var(X) = λ. x ~ π(λ)
泊松分布的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生率.泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數。如某一服務設施在一定時間內到達的人數，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站臺的候客人數，機器出現的故障數，自然災害發生的次數等等.
rpois(n, lambda)
dpois(x,lambda)
連續型
6.均勻分布 Uniform Distribution，unif
f(x) = 1/(max-min) for min <= x <= max.
runif(n,min,max).
生成16位數的隨機數：as.character(runif(1,1000000000000000,9999999999999999))
dunif(x,min,max)=1,恆定等於1/(max-min).
對於連續變量，dfunction的值是x去特定值代入概率密度函數得到的函數值。
7.正態分布Normal Distribution，norm
f(x) = 1/(sqrt(2 pi) sigma) e^-((x - mu)^2/(2 sigma^2))
其中mu是均值，sigma是standard deviation標準差
理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量,那麼這個變量服從正態分布
rnorm(n,mean=0,sd=1)後兩個參數如果不填則默認為0,1。
dnorm(x,mean,sd),sd是標準差。
畫出正態分布概率密度函數的大致圖形：
x<-seq(-3,3,0.1)
plot(x,dnorm(x)) plot中的x,y要有相關關係才會形成函數圖。
qnorm(p,mean,sd),這個還是上側分位數，如qnorm(0.05)=-1.644854,即x<=這個數的累計概率小於0.05
3sigma法則：對於正態分布的x，x取值在(mean-3sd,mean+3sd)幾乎是在肯定的。
因為pnorm(3)-pnorm(-3)=0.9973002
用正太分布產生一個16位長的隨機數字：
as.character(10^16*rnorm(1))
8.伽瑪分布Gamma Distribution，gamma
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=伽瑪分布&variant=zh-cn
假設隨機變量X為 等到第α件事發生所需之等候時間。
f(x)= 1/(s^a Gamma(a)) x^(a-1) e^-(x/s) for x >= 0, a > 0 and s > 0.
Gamma分布中的參數α，稱為形狀參數（shape parameter），即上式中的s，β稱為尺度參數（scale parameter）上式中的a
E(x)=s*a, Var(x)=s*a^2. 當shape=1/2,scale=2時，這樣的gamma分布是自由度為1的開方分
dgamma(x,shape,rate=1,scale=1/rate), 請注意R在這裡提供的rate是scale尺度參數的倒數，如果dgamma(0,1,2)則表示dgamma(0,shape=1,rate=2),而 非dgamma(0,shape=1,scale=2)
pgamma(q, shape, rate = 1, scale = 1/rate, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
qgamma(p, shape, rate = 1, scale = 1/rate, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
rgamma(n, shape, rate = 1, scale = 1/rate)
9.指數分布Exponential Distribution，exp
指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。
記作X ~ Exponential（λ）。
f(x) = lambda e^(- lambda x) for x >= 0.
其中lambda λ > 0是分布的一個參數，常被稱為率參數（rate parameter）. E(x)=1/λ,Var(x)=1/λ^2
dexp(x, rate = 1, log = FALSE)
pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rexp(n, rate = 1)
假設在公交站臺等公交車平均10分鐘有一趟車，那麼每小時候有6趟車，即每小時出現車的次數~ Exponential(1/6)
我們可以產生10個這些隨機數看看rexp(10,1/6)
60/(rexp10,1/6)即為我們在站臺等車的隨機時間，如下：
[1] 6.443148 24.337131 6.477096 2.824638 15.184945 14.594903
[7] 7.133842 8.222400 42.609784 15.182827
可以看見竟然有一個42.6分鐘的隨機數出現，據說這種情況下你可以投訴上海的公交公司。
不過x符合指數分布，1/x還符合指數分布嗎？
pexp(6,1/6)=0.6321206, 也就是說這種情況下只有37%的可能公交車會10分鐘以內來。
按照以上分析一個小時出現的公交車次數應該不符合指數分布。
10.卡方分布(non-central)Chi-Squared Distribution，chisq
它廣泛的運用於檢測數學模型是否適合所得的數據，以及數據間的相關性。數據並不需要呈正態分布
k個標準正態變量的平方和即為自由度為k的卡方分布。
E(x)=k,Var(x)=2k.
dchisq(x, df, ncp=0, log = FALSE)
pchisq(q, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qchisq(p, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rchisq(n, df, ncp=0)
其中df為degrees of freedom。ncp是non-centrality parameter (non-negative).ncp=0時是central卡方分布，ncp不為0時，表示這個卡方分布是由非標準正態分布組合而成，ncp=這些正態 分布的均值的平方和。
11.β分布Beta Distribution，beta
變量x僅能出現於0到1之間。
空氣中含有的氣體狀態的水分。表示這種水分的一種辦法就是相對溼度。即現在的含水量與空氣的最大含水量（飽和含水量）的比值。我們聽到的天氣預告用語中就經常使用相對溼度這個名詞。
相對溼度的值顯然僅能出現於0到1之間（經常用百分比表示）。冬季塔裡木盆地的日最大相對溼度和夏季日最小相對溼度。證實它們都符合貝塔分布
dbeta(x, shape1, shape2, ncp = 0, log = FALSE)
pbeta(q, shape1, shape2, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qbeta(p, shape1, shape2, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rbeta(n, shape1, shape2, ncp = 0)
shape1，shape2是beta分布的兩個參數。E(x)=s1/(s1+s2),var(x)=s1*s2/(s1+s2)^2 * (s1+s2+1)
12.t分布Student t Distribution，t
應用在當對呈正態分布的母群體的均值進行估計。當母群體的標準差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用學生t 分布。
學生t 分布可簡稱為t 分布。其推導由威廉·戈塞於1908年首先發表，當時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因為不能以他本人的名義發表，所以論文使用了學生 （Student）這一筆名。之後t 檢驗以及相關理論經由羅納德·費雪的工作發揚光大，而正是他將此分布稱為學生分布。
dt(x, df, ncp, log = FALSE)
pt(q, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qt(p, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rt(n, df, ncp)
其中df是自由度，ncp是non-centrality parameter delta，If omitted, use the central t distribution。ncp出現時表示分布由非標準的卡方分布構成。
13.F分布
一個F-分布的隨機變量是兩個卡方分布變量的比率。F-分布被廣泛應用於似然比率檢驗，特別是方差分析中
df(x, df1, df2, ncp, log = FALSE)
pf(q, df1, df2, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qf(p, df1, df2, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rf(n, df1, df2, ncp)
df1，df2是兩個自由度，ncp同t分布中的ncp。