生成函數 (科普向)

2021-02-08 冰河的數學小世界

生成函數 (母函數) 是組合數學中的一個重要理論和工具。生成函數有很多種，包括 普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數、狄利克雷級數。說白了就是級數在組合數學的運用。

這裡僅介紹最常見的普通生成函數。


下面介紹一下生成函數的應用。


1、組合計數：

在這個方面需要用到的是多個生成函數的乘積。通常用係數作為數量，根據要求把數項指數賦予實際意義。具體如何由以下例題詳細說明：

上述例題1是有限計數問題，例題2是無限計數問題。

例題1的思路提供了一種有限整數拆分 (給一次不定方程解加限定條件) 的方法；

例題2的思路還提供了一種求一次不定方程非負整數解個數的方法：


2、整數拆分：


3、數列通項：

求數列通項差不多是生成函數最直接的應用。

生成函數將數列的特徵賦予函數，根據數列的遞推關係等已知條件可以求得該生成函數，再將生成函數展開成級數，x^(n-1)的係數便是數列通項。


常係數線性遞推數列一般為人所知的是特徵函數解法，這裡提供生成函數解法：

求通項公式最重要的還是將生成函數轉化成級數。

噓寒問暖不如一筆巨款๑乛v乛๑

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