愛上Laplace——體驗拉式變換的無窮魅力

2021-02-18 信號與系統一點通

小編曾多次強調三點:

(1)《信號與系統》考查內容只有兩點:

           1)求系統響應(零輸入、零狀態、衝激響應、階躍響應、自由、強迫、穩態、暫態)

           2)求系統特性(因果、穩定、線性、時不變、濾波、全通等)

(2)只要不做硬性要求,信號與系統一律用變換域方法做(除明顯的時域知識點),尤其是大題,用時域做的一般都是業餘選手的水平。。。

(3)《信號與系統》考察的主線是系統表示方法之間的相互轉化。

以連續時間系統為例,來領略一下laplace的無窮魅力(可類比Z變換)

不管連續時間系統給出的是什麼形式,想辦法第一步得到系統函數(僅提供參考,不是所有題都適用,思路可應用於大部分題)

1、求系統函數的方法(給定形式不同,涉及的知識點不同)

(1)若給定微分方程

【PS:系統函數:微分方程右邊形式/左邊形式。一階導對應s一次方,二階導對應s二次方】


(2)若給定衝激響應h(t)——直接laplace正變換(考察常見信號的LT結果)

(3)如給系統模擬框圖或信號流圖——梅森公式確定前向通路和環路,詳見梅森公式的具體介紹文章梅森(messon)——系統圖形的剋星

(4)若給定不倫不類的框圖——一般是給定的直接型、級聯型、並聯型,通過整體結構、左右結構,上下結構來明確後一一小系統攻破

(5)若給定系統函數零極點或零極點圖——根據零極點假設系統函數(分子有一個待定係數),需要藉助一些性質或者特殊值來求待定係數

(6)給定激勵和零狀態響應——基本定義法:零狀態的LT/激勵的LT

2、系統函數的應用

(1)求響應:

1)H(s)→h(t)      考察laplace逆變換;

2)H(s)→g(t)      考察G(s)=H(s)/s→g(t)

3)零狀態響應    考察Rzs=H(s) E(s)

4)零輸入影響    由系統函數分母可以明確微分方程左邊形式的,

                          結合起始狀態就可以求零輸入

5)自由、強迫、穩態、暫態:藉助於完全響應中三種分類關係可以求得

6)若輸入為三角信號,所謂的響應就是穩態響應

7)若激勵為雙邊信號:

激勵為e(t)=e^-2t【注意輸入不是單邊指數信號e^-2t u(t)】

響應=H(-2)e^-2t

8)卷積(出時域微積分性質解法)——時域卷積定理後在逆變換

2、求系統特性:

(1)因果:收斂域是大於大極點的值

(2)穩定:收斂域包含虛軸

(3)因果穩定:收斂性右邊且包含虛軸,說明極點都再負半軸

(4)全通:零極點關於虛軸對稱

(5)濾波:根據系統函數零極點畫出矢量圖,然後粗略畫出幅頻特性曲線


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