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導讀
為了減小模型參數發生變化帶來的影響，提高鋰電池荷電狀態(SOC)的估計精度，提出了一種改進的擴展卡爾曼濾波算法(I-EKF)。
電池荷電狀態(SOC)的定義是電池剩餘電量佔可用總電量的百分比。實時準確地估計電池的SOC，對於防止電池過充和過放、延長電池使用壽命、提高整車性能和安全性具有重要意義。
目前，常用的SOC估計方法主要有：(1)開路電壓法[1-2]，此方法精度較高，但是由於準確的開路電壓需將電池長時間靜置才能得到，不適用於動態估計；(2)安時積分法[3-9]，該方法一般配合開路電壓法使用，先用開路電壓法估計電池的SOC初始值，然後再使用安時積分法實時估計電池的SOC值；(3)神經網絡算法，可實時進行SOC估計，適用性廣且精度較高，但是此方法需要大量樣本數據進行網絡訓練，其估計精度受訓練數據和訓練方法的影響較大；(4)卡爾曼濾波算法[10-15]，通過建立電池模型實現狀態空間描述，再使用卡爾曼濾波器對狀態量進行估計，該方法是一種自回歸數據處理算法，其核心思想是對動態系統的狀態做最小均方意義上的最優估計，因此其估計精度比較高，但是其對電池模型的精度要求也比較高，同時由於該方法運算量較大，算法較為複雜，對系統處理器的要求也較高。
傳統的擴展卡爾曼濾波算法(EKF)算法是採用固定的模型參數進行SOC估計，在電池放電末期，電池極化作用會導致電池的模型參數發生變化，此時用傳統的EKF算法估計SOC，尾端的誤差將會變大。本文提出了一種改進的擴展卡爾曼濾波算法，先利用遺忘因子最小二乘法估計電池模型參數，再將估計的模型參數與電池電壓、電流進行局部加權回歸(Lowess)擬合，用擬合的函數計算每組電壓、電流所對應的模型參數，以此減小模型參數變化帶來的影響。
電池建模與參數辨識
1.1 電池建模
等效電路模型是利用電氣電路模擬電池的工作特性，其特點是便於數學分析、進行參數辨識。等效電路模型中經常使用的是Thevenin等效電路模型，該模型結構簡單，能夠很好地模擬電池充放電特性，其電路圖如圖1所示。
圖1 Thevenin等效電路模型
圖1中，Uoc為開路電壓(OCV)，U為電池端電壓，R0為電池內阻，I為電池電流，R1、C1分別為電化學極化內阻和極化電容，U1為RC迴路的端電壓。由圖1模型可得電路方程：
安時積分法的公式為：
式中：QN為電池額定容量；I為電池電流，放電為正，充電為負；SOC(t0)為t0時刻的SOC值；η為庫侖效率係數，其定義為：
式中：QI為當前電流I下的實際總容量，I越小，實際總容量越大，I越大，實際總容量越小。所以式(2)可以寫為：
將式(1)、(3)進行離散化處理，得到系統的狀態空間方程和觀測方程：
式中：T為採樣時間；Uoc()是Uoc關於SOC的函數；wk為系統噪聲，vk為觀測噪聲，它們是均值為零、協方差分別為Q和R的高斯白噪聲。
1.2 遺忘因子最小二乘法
在參數辨識的眾多理論方法之中[16-18]，最小二乘法憑藉原理簡單、收斂速度快、容易編程等優點，被廣泛應用於系統的參數辨識中。而遺忘因子最小二乘法是在遞推最小二乘法的基礎上增加了一個遺忘因子λ，使得最小二乘法具有辨識時變參數的能力，遺忘因子最小二乘法的原理公式為：
式中：φk為數據向量；yk為系統輸出；θk為待估參數向量。設估計參數向量為
，第k次觀測的估計輸出為：
遺忘因子最小二乘估計參數
的遞推公式[19]為：
式中：I為單位矩陣。
遺忘因子λ取值越小，算法追蹤時變參數的能力越強，但是其辨識結果波動也越大；λ取值越大，其辨識結果波動越小，但是追蹤時變參數的能力越弱，當λ=1時，算法就變為普通的遞推最小二乘法。
1.3 電池模型參數辨識
由式(1)的離散化方程可得：
將式(6)中第二個等式帶入第一個等式中，可得：
整理式(7)，可得：
令
式(8)可寫為：
令
即可求得參數k1、k2、k3的值，進而可以求得卡爾曼濾波算法所需矩陣。
搭建的實驗平臺框架圖如圖2所示，主要由鋰電池、恆溫箱、充放電設備和控制計算機構成。
圖2 電池實驗平臺框架圖
用搭建的實驗平臺模擬動態應力實驗工況(DST)工況進行放電實驗，得到圖3～圖4所示的放電數據。OCV-SOC特徵曲線通過脈衝功率特性實驗獲得，具體過程為：25 ℃環境中1 A恆流放電，放電時間為720 s，靜置7 200 s，確保端電壓變化率小於1 mV/min。記錄靜置後得到的開路電壓和與之對應的SOC值，利用多項式擬合得到OCV-SOC特徵曲線，其擬合曲線如圖5所示。
擬合曲線的函數關係式為：
式中：x表示SOC。將Uoc(x)函數求導得到其導函數：
將利用函數關係求得的開路電壓Uoc和圖3～圖4所示的DST工況數據帶入辨識參數的具體步驟中，可以得到k1、k2、k3三組數據。利用Matlab擬合工具箱裡的局部加權回歸法將這三組數據分別與DST工況的電壓、電流進行擬合，得到擬合函數f1(Uk, Ik)，f2(Uk, Ik)，f3(Uk, Ik)。由於改進的擴展卡爾曼算法不是用固定的模型參數進行SOC估計，遺忘因子的選取不需要考慮其辨識結果的波動性，可以根據測試選取估計精度較高的值。
建立I-EKF算法
2.1 算法的建立
鋰離子電池放電末期，由於極化反應，電池模型參數會發生變化。而卡爾曼濾波算法的估計精度取決於所建模型的精度，如若採用固定的模型參數進行算法估計，當電池的模型參數變化後，SOC的估計誤差將會變大。I-EKF算法採用的是時變的模型參數，通過擬合模型參數與電池電壓、電流的關係，求出每個時刻的電壓、電流所對應的模型參數，以時變的模型參數進行估計，減小模型參數變化帶來的影響。
由前文可知：
所以系統的狀態空間方程和觀測方程可以寫成：
由式(10)可得，I-EKF算法所需矩陣為：
算法的具體步驟為：
(1)變量初始化：
(2)更新時間：
(3)計算濾波增益：
(4)k時刻最優估計：
式中：Uk為k時刻的電池端電壓測量值。
(5)更新濾波均方差：
式中：I為單位矩陣
2.2 算法的驗證分析
利用搭建的實驗平臺模擬美國聯邦城市駕駛工況(FUDS)工況進行放電實驗，得到模擬的FUDS工況數據，其電壓和電流數據如圖6～圖7所示，SOC的起始值設置為0.8。將模擬的FUDS工況電壓、電流數據帶入I-EKF算法的具體步驟，就可以估計出鋰電池的SOC值。
定義SOC誤差為：SOC誤差=SOC估－SOC實。為了驗證算法的魯棒性，在變量初始化中，變量之一的SOC初始值設置為0.4，與實際值的誤差為40%。圖8是I-EKF估計的SOC、傳統EKF估計的SOC與SOC參考值的對比圖。圖9是I-EKF的SOC估計誤差與傳統EKF的SOC估計誤差對比圖。
由圖8～圖9可知，兩種算法的魯棒性都很好，在初始誤差達到40%的情況下，SOC的估計誤差能在50次遞推次數以內收斂到5%附近；在圖8中，傳統EKF算法的估計值在放電末期明顯地開始偏離參考值；在圖9中，EKF算法在進入放電末期之前的估計誤差基本在0.5%內，而在放電末期誤差則上升到2%附近，這是電池模型參數變化導致的結果，而I-EKF算法則減小了這種誤差，I-EKF的估計誤差在收斂過後基本穩定在0.5%以內，放電末期也沒有太大的變化，相比於傳統EKF算法，I-EKF算法受模型參數變化的影響較小。
結 論
由於電池放電末期的極化反應導致電池模型參數發生變化，受模型精度影響較大的傳統EKF算法在參數變化後，其估計誤差將會變大。為了減小模型參數變化對算法估計精度的影響，本文建立了模型參數實時變化的I-EKF算法來估計電池的SOC值，並與傳統EKF算法進行比較。兩種算法的魯棒性很好，在初始誤差達到40%的情況下，能夠快速將誤差收斂到5%以內。電池放電末期，EKF算法的估計誤差開始變大，誤差最大值接近2%；而I-EKF算法的估計誤差基本穩定在0.5%以內，誤差最大值也在0.5%附近。在模型參數發生變化的情況下，I-EKF算法比傳統EKF算法更具有優勢，受模型參數變化的影響更小，其估計精度更加穩定。
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