在「R與生物統計專題」中，我們會從介紹R的基本知識展開到生物統計原理及其在R中的實現。以從淺入深，層層遞進的形式在投必得學術公眾號更新。
前幾節課我們學習了線性回歸的相關概念（第三十二講 R-回歸分析概述）、簡單的線性回歸模型（第三十三講 R-簡單線性回歸模型（1）、第三十四講 R-簡單線性回歸模型（2）），相信大家對線性回歸都有了一定的了解。
今天，我們講解線性回歸中稍微複雜的概念——多元線性回歸。
對於三個預測變量（x），y的預測由以下等式表示：
y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3
「b」值稱為回歸權重（或β係數）。他們測量預測變量與結果之間的關聯。「 bj」可以解釋為「 xj」，在其他預測變量不變的情況下，每增加一個單位對y的平均影響 。
本章需要以下R軟體包：
我們將使用一組糖尿病的數據,它包含768人糖尿病相關的數據，包括懷孕情況，血糖，血壓，皮膚厚度，胰島素水平，體重指數，糖尿病譜系功能，年齡和糖尿病診斷結果（Outcome）。
如需獲取數據diabetes.csv，請關注投必得醫學公眾號，後臺回復「diabetes.csv」獲取數據。
導入數據：
my_data<-read.csv('diabetes.csv')檢查數據：
[1] 768 9
輸出結果
Pregnancies Glucose BloodPressure SkinThickness Insulin BMI DiabetesPedigreeFunction Age Outcome1 6 148 72 35 0 33.6 0.627 50 12 1 85 66 29 0 26.6 0.351 31 03 8 183 64 0 0 23.3 0.672 32 14 1 89 66 23 94 28.1 0.167 21 05 0 137 40 35 168 43.1 2.288 33 16 5 116 74 0 0 25.6 0.201 30 0數據清理
new_data<-my_data[my_data$Glucose>0 & my_data$Insulin >0 & my_data$BMI >0,]dim(new_data)#[1] 392 9
研究問題：根據胰島素水平、懷孕次數和體重指數情況來預測血糖水平。
多元線性模型如下所示：
Glucose = b0 + b1*Insulin + b2*Pregnancies + b3*BMI
您可以按以下方式計算R中的模型係數：
model <- lm(Glucose ~ Insulin + Pregnancies + BMI, data = new_data)summary(model)輸出結果
Call:lm(formula = Glucose ~ Insulin + Pregnancies + BMI, data = new_data)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-67.250 -16.499 -3.224 13.567 73.396Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 82.43375 6.16185 13.378 < 2e-16 ***Insulin 0.14246 0.01079 13.197 < 2e-16 ***Pregnancies 1.51089 0.38921 3.882 0.000122 ***BMI 0.39216 0.18203 2.154 0.031826 *Signif. codes: 0 『***』 0.001 『**』 0.01 『*』 0.05 『.』 0.1 『 』 1Residual standard error: 24.61 on 388 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.3687, Adjusted R-squared: 0.3639F-statistic: 75.55 on 3 and 388 DF, p-value: < 2.2e-16
解釋多元回歸分析的第一步是在模型摘要的底部檢查F統計量和關聯的p值。
在我們的示例中，可以看出F統計量的p值 < 2.2e-16，這表明至少一個預測變量與結果變量顯著相關。
要查看哪些預測變量與結果變量顯著相關，您可以檢查係數表，該表顯示了回歸β係數和相關的t統計p值的估計值：
summary(model)$coefficient輸出結果
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 82.4337537 6.1618466 13.378092 7.896785e-34Insulin 0.1424569 0.0107945 13.197176 4.158704e-33Pregnancies 1.5108853 0.3892135 3.881894 1.217842e-04BMI 0.3921590 0.1820293 2.154373 3.182598e-02對於給定的預測變量，t統計量評估預測變量和結果變量之間是否存在顯著關聯，即預測變量的β係數是否顯著不同於零。
可以看出，胰島素水平和懷孕次數與血糖的變化顯著相關（P < 0.001），而體重指數變化雖然與血糖變化也顯著相關，但是關聯性相對小一些（P = 0.03）。
對於給定的預測變量，係數（b）可以解釋為，保持所有其他預測變量固定時，預測變量增加一個單位對y的平均影響。
例如，在固定的胰島素水平和懷孕次數下，體重指數每增加一個單位，平均可以使血糖增加大約0.39 * 1 = 0.39個單位。
如果我們的模型中，存在有某個預測變量與結果變量不相關，則在最後的多元回歸模型中，我們應該刪除該預測變量。
模型係數的置信區間可以提取如下：
輸出結果
2.5 % 97.5 %(Intercept) 70.31896628 94.5485411Insulin 0.12123388 0.1636799Pregnancies 0.74565390 2.2761166BMI 0.03427176 0.7500462
正如我們在簡單線性回歸中所看到的（第三十四講 R-簡單線性回歸模型（2）），可以通過檢查R平方（R2）和殘差標準誤（RSE）來評估模型的整體質量。
RSE估計值提供了預測誤差的度量。RSE越低，模型（基於現有數據）越準確。
可以通過將RSE除以平均結果變量來估計錯誤率：
sigma(model)/mean(new_data$Glucose)[1] 0.2007225
在我們的多元回歸示例中，RSE為24.6，對應於20％的錯誤率。
R平方
在多元線性回歸中，R2表示結果變量（y）的觀測值與y的擬合（即預測）值之間的相關係數。因此，R的值將始終為正，範圍為0至1。
R2表示結果變量y中的方差比例，可以通過知道x變量的值來預測該比例。R2值接近1表示模型解釋了結果變量中很大一部分方差。
R2的一個問題是，當將更多變量添加到模型中，即使這些變量與響應之間的關聯性很弱，R2也會一直增加。解決方案是通過考慮預測變量的數量來調整R2。
摘要輸出中「已調整的R平方」值是對預測模型中包含的x變量數量的校正。
在我們的示例中， 調整後的R2 = 0.3639，這意味著「 36.39％的血糖差異可以通過胰島素水平、懷孕次數和體重指數進行預測。
1. Alboukadel Kassambara, Machine Learning Essentials: Practical Guide in R
好了，本期講解就先到這裡。小夥伴們趕緊試起來吧。
在之後的更新中，我們會進一步為您介紹R的入門，以及常用生物統計方法和R實現。歡迎關注，投必得學術手把手帶您走入R和生物統計的世界。
提前預告一下，下一講我們將學習多元線性回歸中的交互作用及更優模型選擇。
當然啦，R語言的掌握是在長期訓練中慢慢積累的。一個人學習太累，不妨加入「R與統計交流群」，和數百位碩博一起學習。
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來源：投必得醫學R與生物統計
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