和孩子一起學習——獎券該怎麼放進抽獎箱,中獎的機會更大?

2021-02-20 貓師姐在美利堅

康康，一個9歲的男孩，對數學、物理、化學、天文等學科有興趣，日常練習遊泳和跆拳道。

康康的學校裡有時會有聚餐抽獎這類的活動，小朋友們買了獎券寫上自己的名字，投入獎品前面的抽獎箱裡，開獎的時候由老師從抽獎箱裡隨機抽出獎券，看看到底是誰被抽中了。

參加抽獎活動的小朋友，通常都會買一大堆獎券，這樣中獎的機會也會大一些。


一天上學路上，康康忽然問我：「媽媽，我們學校那種抽獎，究竟是把獎券都放在一個抽獎箱裡中獎的機會大，還是把獎券分別放在不同抽獎箱裡中獎的機會大？」

我立刻高興地說：「這就是我前幾天給你講過的概率論呀。如果你能掌握概率論的方法，中獎的概率就可以計算出來了。」

概率論對於工科生來說是必須掌握的基本知識，至今我已經學過三遍了，本科課程、碩士研究生課程、博士生課程各學一遍，雖然課程內容是逐步加深的，但是基本的概念始終是那些。

因為覺得概率論實在是太有用了，因此我早早地就給康康講過一點點概率論的基礎。

我說：「咱們把抽獎的情況簡化一下吧，假設你有兩張獎券，你希望知道把這兩張獎券都投到一個抽獎箱裡面的機會大，還是投在兩個不同的抽獎箱裡的機會大。是嗎？」

康康點頭：「是的。」

我想了想：「如果我們假設原來每個抽獎箱裡都有9張獎券，那麼如果你把兩張獎券投在一個抽獎箱裡，這個抽獎箱裡一共有11張獎券，你中獎的機會是多少呢？」

康康試探著問：「2/11？」

「是的！如果你把兩張獎券分別投在兩個抽獎箱裡，每個抽獎箱裡都有10張獎券了，中獎的可能性是多少？」

他想了一會兒，很不確定地問：「1/10乘以1/10嗎？」

「不是啊，這個數字是你在兩個抽獎箱裡都中獎的概率，而你應該計算的是你至少在一個抽獎箱裡中獎的概率，既包括在a箱裡中獎，又包括在b箱裡中獎，當然也包括既在a箱又在b箱裡中獎。」

大概這個問題對康康來說實在是太難了，我繼續解釋：「這個問題你需要反著想，先考慮你在兩個抽獎箱都沒有中獎的概率，這個是(9/10)* (9/10)。」

這個問題對他來說倒是不難：「81/100。」

「是的！那麼你至少在一個抽獎箱裡中獎的概率，就是所有的可能性減掉都沒有中獎的概率。」

「是19/100吧。」

「和剛才都放在同一個抽獎箱裡哪個可能性高呢？」

兩個分數要通分，這個對9歲的康康來說可是太難了，我問了之後又告訴他：「其實是19/100這個數大一些，所以分別放在不同抽獎箱裡中獎的可能性高一些。」

康康琢磨了一會兒，又問：「一開始你假設的是兩個抽獎箱裡各有9張獎券，如果兩個抽獎箱裡的獎券數量不是9而是別的數，答案也是這個樣子嗎？」

「好問題！我回家算一算，等你放學回來我告訴你好嗎？」

雖然直覺上我認為只要兩個抽獎箱原來的獎券數量一樣多，那麼還是把兩張獎券分別投入不同的抽獎箱裡中獎的可能性更高，不過我還是打算讓算式來說話。

回家之後，我在紙上推導了一遍。為了讓康康容易理解，還寫了一段matlab小程序，用x軸表示a箱裡獎券數量，y軸是b箱裡獎券數量，藍色表示獎券分別投兩箱中獎機會更大，粉色表示投a箱，綠色表示投b箱。

康康放學後，我從頭給他講了一遍，然後讓他看直觀的圖解：

當a、b兩個抽獎箱裡獎券數量一樣的時候，將獎券分別投入不同的抽獎箱中獎機會更大；但是如果兩個抽獎箱裡獎券數量不一樣的時候，把獎券全部投入本來獎券較少的抽獎箱裡機會更大。

我最後還加了一句：「這是我用matlab寫的小程序畫的圖，你不是會用python寫程序了嗎？周末你可以把這個過程用python寫一遍呀。」

康康一邊思索一邊心不在焉地點了點頭，想了半天，忽然又問：「那我怎麼知道哪個抽獎箱裡面獎券多呀？那個箱子是不透明的！」

「問得好！有一個辦法是你可以在旁邊觀察一會兒，觀察在這個時間段內小朋友們往哪個抽獎箱裡投的獎券更多，這是統計學裡面很重要的一個方法——採樣。」

康康又想了一會兒，一拍手：「我有辦法了！我可以從那個投獎券的口往裡看一看嘛。」

哈哈哈哈，這果然是個更直接的辦法！

康康小朋友，現在你知道概率論有多有用了吧？

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下期更新預告：

和孩子一起學習——看書看到的美食，那咱們就動手實踐一下！

（可能會根據實際需要更改題目或內容）

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