第七章 無窮級數:習題七 (A)(完全版)答案

第七章 無窮級數 習題七 （A）答案

1. 解： 做這類題，要學會觀察規律。

(1).

(2).

分子的規律一目了然，分母可以觀察出

以上各式相加得到

所以.

(3).

(4).

2. 解： 明白部分和定義

所以

所以級數為

3. 解：

(1)級數通項為, 容易直到

根據收斂必要條件，級數發散。

(2)級數是等比級數，公比為, 所以這個級數收斂，且

(3)該級數通項所以根據收斂必要條件得到該級數發散。

(4)該級數通項所以根據收斂必要條件得到該級數發散。

(5)該級數通項,所以

4. 解： 明白幾個典型級數的斂散性，比如級數

等比級數

的斂散性。熟悉不等式放縮技巧。

(1)通項

因為發散，所以發散。

(2)通項

因為收斂，所以收斂。

(3)通項

因為收斂，所以收斂。

(4)因為, 所以通項

因為發散，所以發散。

(5)通項

因為收斂，所以收斂。

(6)因為通項

所以

因為發散，所以發散。

(7)通項

因為收斂，所以收斂。

(8) 通項

所以級數部分和

所以發散。

法2. 記住不等式

則

而

所以

發散，所以發散。

(9)通項

因為

所以存在使得

而

收斂，所以

5. 解： 熟悉求極限.

(1)通項

所以

所以原級數收斂。

(2)通項

所以

所以原級數收斂。

(3)通項

所以

所以原級數收斂。

(4)通項

所以

所以原級數收斂。

(5)通項

所以

所以原級數發散。

(6)通項

所以

所以原級數收斂。

(7)通項

所以

所以原級數收斂。

(8)通項

所以

所以原級數發散。

(9)通項

所以

所以原級數收斂。

6. 解：

(1)通項

所以

所以原級數收斂。

(2)通項

所以

所以原級數收斂。

(3)通項

所以

所以原級數發散。

(4)通項

所以

所以原級數收斂。

7. 解： 記住交錯級數判別方法：

(1)除開符號外

單調減少趨於0，所以原級數收斂。

(2)除開符號外

單調減少趨於0，所以原級數收斂。

(3)除開符號外

趨於，所以原級數發散。

8. 解： 掌握絕對收斂和條件收斂概念

(1) 各項加絕對值

這個級數收斂，所以原級數絕對收斂。

(2)各項加絕對值

這個級數收斂，所以原級數絕對收斂。

(3)各項加絕對值

這個級數發散，見第4（4）題。但是原級數是交錯級數，去掉符號

單調減少趨於0，由定理知道它收斂。所以原級數條件收斂。

(4)各項加絕對值

因為

而收斂，所以收斂，所以原級數絕對收斂。

(5)各項加絕對值得到

其部分和

而

因此. 所以加絕對值後的級數收斂，所以原級數絕對收斂。

(6)這個級數的通項公式很難觀察出來，書本給出來了，以後由印象就好！

用比值法可以得到它收斂，所以原級數絕對收斂。

9. 解：

(1)

係數所以

當時，化為

交錯級數，按照判別法，它收斂。

當時，化為

調和級數，發散。所以收斂域為.

(2)

係數所以

所以收斂域為.

(3)

係數所以

當時，化為

交錯級數，按照判別法，它收斂。

當時，化為

按照級數數次數法，收斂。所以收斂域為.

(4)

係數所以

當時，化為

它發散。

當時，化為

發散。所以收斂域為.

(5)

係數所以

當時，化為

調和級數，它發散。

當時，化為

交錯級數，按照判別法，它收斂。所以收斂域為.

(6)

係數所以

當時，化為

交錯級數，按照判別法，它收斂。

當時，化為

級數判別，發散。所以收斂域為.

(7)

係數所以

當

時，化為

交錯級數，按照判別法，它收斂。

當時，化為

調和級數，發散。所以收斂域為.

(8)

係數所以

當時，化為

因為

比較法，調和級數發散，知道它發散。

當時，化為

級數判別，單調減少趨於0，它收斂。所以收斂域為.

(9)

對於第一個，係數所以

當時，化為

調和級數，它發散。

當時，化為

交錯級數，按照判別法，收斂。所以收斂域為，.

對於第二個，係數所以

當時，化為

交錯級數，按照判別法，它收斂。

當時，化為

調和級數，發散。所以收斂域為，.

綜上所述，收斂域為，.

（10）

對於第一個，係數所以

當時，化為

等比級數，按照判別法，它發散。

當時，化為

等比級數，發散。所以收斂域為，.

對於第二個，係數所以

當時，化為

等比級數，按照判別法，它發散。

當時，化為

等比級數，發散。所以收斂域為，.

綜上所述，收斂域為，.

(11)

把看成一個整體，即級數

係數所以

當時，化為

級數，它收斂。

當時，化為

交錯級數，按照判別法， 收斂。所以收斂域為.

原級數收斂域為.

(12)

把看成, 即

係數所以

經過有理化計算

當時，化為

與調和級數比較，它發散。

當時，化為

交錯級數，按照判別方法， 收斂。所以收斂域為.

原級數收斂域為.

(13)

令. 則.

係數所以

當時，化為

等比級數，它發散。

當時，化為

等比級數， 發散。所以收斂域為.

原級數收斂域為.

(14)

令. 化為

係數所以

當時，化為

交錯級數，按照交錯級數判別，它收斂。

當時，化為

調和級數，它發散。所以收斂域為.

, 原級數收斂域為.

10.  解：

(1)

先求收斂半徑, 係數為

所以

所以收斂半徑為, 收斂區間為.

當時，化為

交錯級數，根據交錯級數判別法知道它收斂。

當時，化為

它發散。所以收斂域.

(2)

以為一個整體，先求收斂半徑, 係數為

所以

所以收斂半徑為, 收斂區間為.

當時，化為

發散。

當時，化為

它發散。所以收斂域.

(3)

先求收斂半徑, 係數為

所以

所以收斂半徑為, 收斂區間為.

當時，化為

發散。

當時，化為

它發散。所以收斂域.

(4)

先求收斂半徑, 係數為

所以

所以收斂半徑為, 收斂區間為.

當時，化為

發散。

當時，化為

交錯級數，它收斂。所以收斂域.

11. 解:

(1)

以此類推

所以按照公式得到

(2)

以此類推得到

所以

12. 解：

(1)因為

所以

(2)

而

因此

(3)因為

因此

(4)

因為

所以

所以

(5)因為

所以

(6)

因為裂項得到

所以

13. 解：

常見的冪級數展開式要記得哦！

(1)因為

所以

收斂域即.

(2)因為

用代替得到

再用替代, 所以

從到積分兩邊得到

收斂域為.

(3)

因為

所以

所以

收斂域.

(4)因為配方得到

因為

從到積分得到

經過計算收斂半徑是1，收斂於.所以

14. 解： 記住常見的泰勒公式.

(1)

所以取三項即

因此

(2)

取三項得到

因此

(3)

注意這種泰勒公式是在很小的時候成立，所以要用這個公式需要很小。取三項得到

所以

(4)

取三項得到

所以

15. 解：

(1)

因為

所以

因此

(2)因為

所以

(3)因為

所以

(4)因為

所以

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