小學應用題寶典二，類型歸納+解題思路+例題整理，收藏給孩子學習

暑假來啦，三及第君幫大家整理了小學應用題寶典，從各類經典題型到難點題型，全部思路整理以及例題演練，建議家裡有準備小升初的家長收藏給孩子查缺補漏哦

上一期連結：

行船問題

【含義】

行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船隻本身航行的速度，也就是船隻在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船隻順水航行的速度是船速與水速之和；船隻逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數量關係】

（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2

【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關係的公式。

例1

一隻船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這隻船逆水行這段路程需用幾小時？

解

由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速為25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時間為320÷10＝32（小時）

答：這隻船逆水行這段路程需用32小時。

例2

甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？

解

由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可見（36－20）相當於水速的2倍，

所以，水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）

又因為，乙船速－水速＝360÷15，

所以，乙船速為360÷15＋8＝32（千米）

乙船順水速為32＋8＝40（千米）

所以，乙船順水航行360千米需要

360÷40＝9（小時）

答：乙船返回原地需要9小時。

列車問題

【含義】

這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數量關係】

火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速

火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）

÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）

÷（甲車速＋乙車速）

【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關係的公式。

例1

一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

解

火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？900×3＝2700（米）

（2）這列火車長多少米？2700－2400＝300（米）

列成綜合算式900×3－2400＝300（米）

答：這列火車長300米。

例2

一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？

解

火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為

8×125－200＝800（米）

答：大橋的長度是800米。

例3

一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在後面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？

解

從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為

（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）

答：需要73秒。

例4

一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那麼，火車從工人身旁駛過需要多少時間？

解

如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當於火車相遇問題。

150÷（22＋3）＝6（秒）

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

時鐘問題

【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關係的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數量關係】

分針的速度是時針的12倍，

二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】

變通為「追及問題」後可以直接利用公式。

例1

從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？

解

鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在後，兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為20÷（1－1/12）≈22（分）

答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。

例2

四點和五點之間，時針和分針在什麼時候成直角？

解

鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或後15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針後（5×4）格，如果分針在時針後與它成直角，那麼分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那麼分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。

（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）

（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）

答：4點06分及4點38分時兩針成直角。

例3

六點與七點之間什麼時候時針與分針重合？

解

六點整的時候，分針在時針後（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。

（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）

答：6點33分的時候分針與時針重合。

盈虧問題

【含義】

根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有餘（盈），一次不足（虧），或兩次都有餘，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。

【數量關係】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總人數＝（盈＋虧）÷分配差

如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總人數＝（大盈－小盈）÷分配差

參加分配總人數＝（大虧－小虧）÷分配差

【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關係的公式。

例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就餘11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

解

按照「參加分配的總人數＝（盈＋虧）÷分配差」的數量關係：

（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少個蘋果？3×12＋11＝47（個）

答：有小朋友12人，有47個蘋果。

例2

修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？

解

題中原定完成任務的天數，就相當於「參加分配的總人數」，按照「參加分配的總人數＝（大虧－小虧）÷分配差」的數量關係，可以得知

原定完成任務的天數為

（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）

這條路全長為300×（22＋4）＝7800（米）

答：這條路全長7800米。

例3

學校組織春遊，如果每輛車坐40人，就餘下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？

解

本題中的車輛數就相當於「參加分配的總人數」，於是就有

（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）

（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）

答：有6輛車，有270人。

工程問題

【含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關係。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出「一項工程」、「一塊土地」、「一條水渠」、「一件工作」等，在解題時，常常用單位「1」表示工作總量。

【數量關係】

解答工程問題的關鍵是把工作總量看作「1」，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】

變通後可以利用上述數量關係的公式。

例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？

解

題中的「一項工程」是工作總量，由於沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位「1」。由於甲隊獨做需10天完成，那麼每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：兩隊合做需要6天完成。

例2

一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？

解一

設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以

（1）每小時甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）

（2）這批零件共有多少個？

7÷（1/6－1/8）＝168（個）

答：這批零件共有168個。

解二

上面這道題還可以用另一種方法計算：

兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3

由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7

所以，這批零件共有24÷1/7＝168（個）

例3

一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，餘下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？

解

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12＝560÷10＝660÷15＝4

因此餘下的工作量由乙丙合做還需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）

答：還需要5小時才能完成。

例4

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？

解：

注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當於一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。

要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其餘兩個量便可由條件推出。

我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知

每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知

一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15

又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2，

所以，2小時內注滿一池水

至少需要多少個進水管？（15＋1×2）÷（1×2）

＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進水管。

正反比例問題

【含義】

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那麼這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做正比例關係。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關係叫做反比例關係。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數量關係】

判斷正比例或反比例關係是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米後，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解

由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當於（4－3）份，從而知公路總長為300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：這條公路總長3600米。

例2

張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？

解

做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關係

設91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X

28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13

答：91分鐘可以做13道應用題。

例3

孫亮看《十萬個為什麼》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

解

書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關係

設X天可以看完，就有24∶36＝X∶15

36X＝24×15X＝10

答：10天就可以看完。

按比例分配問題

【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分佔總數量的份數，另一種是直接給出份數。

【數量關係】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數＝比的前後項之和

【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉化為各佔總量的幾分之幾，把比的前後項相加求出總份數，再求各部分佔總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前後項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1

學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

解

總人數為47＋48＋45＝140

一班植樹560×47/140＝188（棵）

二班植樹560×48/140＝192（棵）

三班植樹560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

例2

用60釐米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少釐米？

解

3＋4＋5＝1260×3/12＝15（釐米）

60×4/12＝20（釐米）

60×5/12＝25（釐米）

答：三角形三條邊的長分別是15釐米、20釐米、25釐米。

例3

從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17隻羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，並規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

解

如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝1717×9/17＝9

17×6/17＝617×2/17＝2

答：大兒子分得9隻羊，二兒子分得6隻羊，三兒子分得2隻羊。

例4

某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

解

80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

答：三個車間一共820人。

百分數問題

【含義】

百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示「率」，也可以表示「量」，而百分數只能表示「率」；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號「%」。

在實際中和常用到「百分點」這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數量關係】

掌握「百分數」、「標準量」「比較量」三者之間的數量關係：

百分數＝比較量÷標準量

標準量＝比較量÷百分數

【解題思路和方法】

一般有三種基本類型：

（1）求一個數是另一個數的百分之幾；

（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

例1

倉庫裡有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各佔原重量的百分之幾？

解

（1）用去的佔720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的佔6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？

解

本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%

或者1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數比女職工少20%。

例3

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？

解

本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此

（525－420）÷420＝0.25＝25%

或者525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數比男職工多25%。

例4

紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各佔全廠職工總數的百分之幾？

解

（1）男職工佔420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工佔525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工佔全廠職工總數的44.4%，女職工佔55.6%。

「牛吃草」問題

【含義】

「牛吃草」問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫「牛頓問題」。這類問題的特點在於要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關係】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

【解題思路和方法】

解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解

草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求「多少頭牛5天可以把草吃完」，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等於原有草量加上20天內的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內生長量

同理1×15×10＝原有草量＋10天內生長量

由此可知（20－10）天內草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5天內草總量

5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2

一隻船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解

這是一道變相的「牛吃草」問題。與上題不同的是，最後一問給出了人數（相當於「牛數」），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：

（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時的進水量為14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是

30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。

雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子裡雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關係】

第一雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然後以兔換雞；如果先假設都是兔，然後以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠裡。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

解

假設35隻全為兔，則

雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔數＝35－23＝12（只）

也可以先假設35隻全為雞，則

兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

雞數＝35－12＝23（只）

答：有雞23隻，有兔12隻。

例2

2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解

此題實際上是改頭換面的「雞兔同籠」問題。「每畝菠菜施肥（1÷2）千克」與「每隻雞有兩個腳」相對應，「每畝白菜施肥（3÷5）千克」與「每隻兔有4隻腳」相對應，「16畝」與「雞兔總數」相對應，「9千克」與「雞兔總腳數」相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。

例3

李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？

解

此題可以變通為「雞兔同籠」問題。假設45本全都是日記本，則有

作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

日記本數＝45－15＝30（本）

答：作業本有15本，日記本有30本。

例4

（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100隻，雞的腳比兔的腳多80隻，問雞與兔各多少只？

解

假設100隻全都是雞，則有

兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數＝100－20＝80（只）

答：有雞80隻，有兔20隻。

例5

有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？

解

假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以「小」換「大」，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）

共有大和尚100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關係】

（1）方陣每邊人數與四周人數的關係：

四周人數＝（每邊人數－1）×4

每邊人數＝四周人數÷4＋1

（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）?

內邊人數＝外邊人數－層數×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。

例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

解

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。

例2

有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。

解

10－（10－3×2）?

＝84（人）

答：全方陣84人。

例3

有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？

解

（1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）

答：這隊學生共160人。

例4

一堆棋子，排列成正方形，多餘4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9隻棋子，問有棋子多少個？

解

（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）

（2）縱橫增加一層後正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）

答：棋子有40隻。

例5

有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

解

第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。