每日一題20170526

2021-03-01 Math業精於勤

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今天給同學們總結梳理下三角函數類湊微分的思路和方法

第(1)、(2)題是針對∫(sinx)^n(cosx)^(2k+1)dx或∫(cosx)^n(sinx)^(2k+1)dx型的不定積分，這時只需將奇數次的sinx或cosx拿出一個去後面湊微分，然後再使用恆等式(sinx)^2+(cosx)^2=1，即可化為關於cosx或sinx的多項式不定積分；

第(3)題則是針對∫(sinx)^(2k)(cosx)^(2l)dx型的不定積分，此時無法像(1)、(2)題那樣直接湊微分，則需使用1+cos2x=2(cosx)^2或1-cos2x=2(sinx)^2，將被積函數不斷降次然後分項積分。

第(4)、(5)題是針對∫(tanx)^(2k+1)(secx)^ndx和∫(tanx)^n(secx)^(2k)dx型的不定積分。首先考慮secx是否是偶次方，如果是則利用dtanx=(secx)^2dx，(secx)^2=1+(tanx)^2，轉化為關於關於tanx的多項式不定積分；如果secx不是偶次方，則當tanx是奇次方時，利用dsecx=secxtanx，(secx)^2=1+(tanx)^2，轉化為關於secx的多項式不定積分。

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