歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，在特殊三角形中，等腰三角形是一類很重要的軸對稱圖形，而它的性質都源於軸對稱，所以，從軸對稱圖形的角度，去學習、理解、掌握等腰三角形的性質及其運用，是一個正本清源的好的思考角度。今天我們就來說一說，由軸對稱性如何演變出等腰三角形的各種性質，及其在題型中是如何應用的。
【知識梳理】
1.概念:有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;這兩條相等的邊叫腰,另一邊叫底邊,兩腰的夾角叫頂角,腰與底邊的夾角叫底角.
2.性質:①等腰三角形是軸對稱圖形,對稱軸是它的頂角角平分線所在的直線;
②等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡稱「三線合一」）；
③等腰三角形的兩個底角相等（簡稱「等邊對等角」）
3.判定：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱「等角對等邊」）
4.等腰三角形的分類討論
①若題目未明確角是等腰三角形的哪種角，則需分角是頂角或底角兩種情形分別進行討論論證；
②若題目未明確邊是等腰三角形的哪種邊，則需分邊是腰或底邊兩種情形分別進行討論論證；
【典型例題】
例1.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC於D，△ABC的周長為36，AD=12,則△ADC的周長為________
【解析】考查等腰三角形的性質「兩腰相等」及「三線合一」.
△ADC的周長=AD+AC+DC=AD+(AB+AC)/2+BC/2=AD+（AB+BC+AC）/2= =12+18=30.
例2.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD交於點O，且BO＝CO，求證：（1）∠ABE＝∠ACD；（2）DO＝EO。
【解析】
（1）利用等邊對等邊的性質即可得出結論；
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，∴∠ABE=∠ACD；
（2）利用三角形全等即可得出結論；
在△DOB與△EOC中，∵∠ABE=∠ACD，OB=OC，∠DOB=∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD=OE；
例3．一個等腰三角形兩個內角的和為100，則它的頂角度數是_______________
【解析】兩個內角是兩個底角之和還是一個頂點和一個底角之和，題目沒說，所以要分兩種情況討論；
①「底角+頂角=100」:根據三角形內角和,可算出另一底角為80,所以頂角為20；
②「底角+底角=100」:根據三角形內角和,可算出頂角為80.
故它的頂角度數是20或80
例4.等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數是_________
【解析】這個角是頂角還是底角題目沒明確，所以要分兩種情況討論；
①「頂角=80」:答案即為80；
②「底角=80」:根據三角形內角和,可算出頂角為20.
故它的頂角度數是80或20
例5.一個等腰三角形的兩邊長分別為5，8，則它的周長為_____
【解析】由於題目沒說明5和8誰是底邊誰是腰長，所以要分兩種情況討論；
①當一腰長為5，一底邊長為8時，則等腰三角形的周長為5+5+8=18；
②當一腰長為8，一底邊長為5時，則等腰三角形的周長為8+8+5=23.
故等腰三角形周長為18或23.
例6.一個等腰三角形的兩邊長分別為4，8，則它的周長為_____
【解析】4和8誰是腰誰是底邊，題目未明確，所以要分兩種情況討論；
①當一腰長為4，一底邊長為8時，∵4+4=8，∴不符合三角形三邊關係，故不存在；
②當一腰長為8，一底邊長為4時，則等腰三角形的周長為8+8+4=20.
故它的頂角度數是20或80
例7.如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40，DE交線段AC於點E．在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．
【解析】由於題目未明確等腰△ADE的腰與底，故需要分類討論，再利用等腰三角形性質及三角形內角和公式、外角定理即可求解。
∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=40.
①當AD=AE時，∴∠AED=∠ADE=40，∵∠AED是∠C的外角，∴∠AED>∠C，故不存在，捨去；
②當AD=DE時，∴∠DAC=（180-40）÷2=70，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70+40=110；
③當AE=DE時，∠DAE=40，∴∠BDA=∠DAE+∠C=40+40=80；
綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數為110°或80°.
例8.閱讀下列材料，解答問題：
定義：線段AD把等腰三角形ABC分成△ABD與△ACD（如圖12-1），如果△ABD與△ACD均為等腰三角形，那麼線段AD叫做△ABC的完美分割線。
⑴如圖1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108，AD為△ABC的完美分割線，且BD<CD，
則∠B=_________，∠ADC=_________；
⑵如圖2，已知已知△ABC中，AB=AC，∠A=36，BE為△ABC的角平分線，求證：BE為△ABC的完美分割線；
⑶如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB=AC，AD是它的一條完美分割線，將△ABD沿直線AD摺疊，點B落在點B`處，AB`交CD於點E。求證：DB`=EC。
【解析】
（1）利用等腰三角形的性質即可求解；
由題可知，△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠BAD=∠B，∵∠BAC=108，∴∠B=36，∴∠BAD=36，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36+36=72；
（2）利用等角對等邊判定△EAB、△BEC是等腰三角形即可；
由題可知，△ABC是等腰三角形，∠A=36，∴∠ABC=∠C=72，∵BE為△ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=36，∴∠ABE=∠A，∴BE=EA，△EAB是等腰三角形；∵∠BEC=∠A+∠ABE=36+36=72.∴∠BEC=∠C，∴BC=BE，△BEC是等腰三角形，∵△ABC、△EAB、△BEC均是等腰三角形，∴BE為△ABC的完美分割線；
（3）利用等腰三角形的性質及摺疊性質，可用ASA證△CAE≌△B`AD，即可得出結論。
∵AD是它的一條完美分割線，∴△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC，AB=AC，由摺疊性質可得：AB=AB`，∠B=∠B`，∠BAD=∠B`AD，∴∠B`=∠C，AB`=AC，∵∠ADC=2∠BAD，∴∠CAD=2∠BAD=2∠DAB`，∴∠CAE=∠B`AD，在△AEC與△ADB`中，∵∠CAE=∠B`AD，AC=AB`，∠C=∠B`，∴△CAE≌△B`AD，∴EC=DB`.
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