引用文章：Quan Quan, Kai-Yuan Cai. Repetitive Control for Nonlinear Systems: An Actuator-Focused Design Method. International Journal of Control. DOI: 10.1080/00207179.2019.1639077.
為什麼抵消常值擾動或跟蹤常值參考需要PID控制的積分器？用內模原理來解釋為：為了抑制常值擾動或跟蹤常值參考，需要將常值擾動或跟蹤常值參考的傳遞函數「拷貝」到控制器結構裡，而常值擾動或跟蹤常值參考的傳遞函數與積分器的傳遞函數相同。本文提出一種對內模原理的新理解，並以階躍信號、正弦信號和周期信號作為例子，揭示內模（控制器內的模型，與激勵信號模型相同）在時域中的工作原理。在新的理解下，周期信號跟蹤問題可以看成是一個穩定問題。相應的設計方法應用在周期系統、非線性最小相位系統和非線性非最小相位系統上。與現有方法相比，新方法不僅可以簡化控制器設計過程和控制器結構，而且能夠解決一些以往較難處理的問題。
基於內模原理的設計與自適應設計的區別
內模原理的新理解
總結
如圖1，周期信號的跟蹤問題實質是介於任意信號跟蹤和零解穩定（期望信號恆為零的跟蹤）之間的問題。作為一般信號跟蹤問題的一種特殊情況，周期信號跟蹤問題自然要比任意信號跟蹤問題更簡單一些。通過重複控制理論可見，線性系統的周期信號跟蹤要比一般信號跟蹤更簡單。然而，由於缺乏相應的理論，目前的非線性系統中重複控制器設計主要依賴自適應設計方法。
圖 1. 關係圖
自適應設計方法首先需要通過理想系統得到系統的誤差系統，其中：理想系統的狀態是被控系統狀態的期望。該方法的設計理念是將跟蹤問題轉化為閉環誤差系統的穩定問題。這與基於內模原理的設計方法理念有所不同。圖2給出了自適應設計思路和線性系統中基於內模原理的設計思路流程。
圖 2. 設計思路對比
從圖2可以看出，自適應設計思路不僅需要求解理想系統並且還需要得到閉環誤差系統。因此，該方法考慮的是閉環誤差系統的穩定性問題，而基於內模原理的設計思路考慮的是引入具有特殊結構控制器後閉環系統的穩定性問題。兩種設計理念的差別看似只是誤差系統的求解，然而這個差別其實也正是跟蹤問題與零解穩定問題之間的差別。為了求解閉環誤差系統，設計者往往需要花費很多代價，比如：求解非最小相位系統的閉環誤差系統時往往需要通過數值方法求解積分方程。
內模原理的具體表述是：某一信號可以視為一個自治系統的輸出，將這一信號的模型設置在穩定的閉環系統中，則反饋系統可實現對此信號的完全跟蹤/抑制。從以上表述可以看出，基於內模原理的設計傳達的設計理念是：通過引入特殊結構的控制器，將閉環系統跟蹤問題轉化為該閉環系統的內部穩定問題。目前主要有兩種觀點對內模原理進行解釋。
第一種為對消觀點.內模（控制器內的模型，與激勵信號模型相同）的引入相當於在閉環傳遞函數中引入了不穩定零點，而引入的不穩定零點恰好可以與外部信號傳遞函數的不穩定極點完美對消，因此跟蹤問題最終只需考慮閉環系統的穩定性即可。
第二種觀點為幾何觀點。Francis和Wonham採用幾何方法對內模原理進行了解釋。內模的引入可以使閉環系統的狀態變量收斂到一個特殊的不變子集中，而該不變子集的任何元素作用在輸出函數為零。
傳遞函數方法只能針對線性時不變系統進行解釋；而幾何方法目前限於一類有限維非線性系統，很難對無窮維內模（包括周期內模）進行分析。基於以上考慮，本章給出內模原理在時域中的一種新理解。
圖 3. 階躍、正弦和周期信號跟蹤
圖 4. 信號跟蹤
以圖4為例，階躍信號、正弦信號和周期信號都可以由內模產生。在該信號激勵下，若系統穩定，那麼誤差、執行器輸出和系統輸出的穩態信號都可以表示由內模產生。比如：當階躍信號激勵，那麼若系統穩定，誤差、執行器輸出和系統輸出的穩態信號都可以表示為常值信號；當正弦信號激勵，那麼若系統穩定，誤差、執行器輸出和系統輸出的穩態信號都可以表示為同頻率正弦信號；當周期信號激勵，那麼若系統穩定，誤差、執行器輸出和系統輸出的穩態信號都可以表示為同周期信號。重點來了：可以通過反證法推斷誤差必須為0，否則執行器輸出不可能表示出由內模產生。階躍信號、正弦信號和周期信號的內模其實都不是穩定的，屬於臨界穩定。非零的階躍信號、正弦信號和周期信號通過自身的內模（臨界穩定）會發散。以圖3（a）為例，若誤差不為0，為某常數，那麼它通過自身的內模，積分會無窮大，即執行器輸出不會是常數了，因此只能是誤差為0；以圖3（b）為例，若誤差不為0，為某正弦，那麼它通過自身的內模也不會再是正弦信號；同理，以圖3（c）為例，若誤差不為0，為某周期信號，那麼它通過自身的內模也不會再是周期信號。
該觀點適合周期內模的問題分析，「不動點」定理可以來分析是否存在周期解，包括非線性系統。之後我們將該分析方法轉換成設計方法，應用到周期系統（一種時變系統）、最小相位非線性系統和非最小相位非線性系統的周期信號跟蹤，取得了成功。
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