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弦論學家認為宇宙有許多維度：10個，11個，或26個。但是除了四維，其他維都捲縮於極其微小的空間裡，無法被探測到。但本文要討論的並不是這個，而是真正的第五維度，一個和四維一樣廣闊平坦的空間。
在人類認識到宇宙有四個維度之後，第五維度的觀點接踵而至。1919年，愛因斯坦發表廣義相對論僅四年之後，一位名叫卡魯扎（Kaluza）的科學家提出了這個想法。他只把論文寄給了阿爾伯特·愛因斯坦一人，並受到了他的讚賞。愛因斯坦喜歡它的原因稍後再說，現在的重點是卡魯扎必須解釋為什麼第五維度能在不可見的情況下存在。
畢竟，如果你我約好在宇宙的某處見面，我只需要給你三個數字（緯度、經度和海拔高度）和一個時間，而不必把地址安排在第五維度。我不用說：星期二下午3點在五號大街和榆樹街交叉口的四樓大廳見面，順便說一句，你一定要去第九地下世界。
卡魯扎用一個假設來解釋第五維度不可見的原因，即圓柱度（cylindricity）。這個觀點很簡單：第五維度不可見，是因為它和其他維一模一樣。這就像一個矩形的麵包，如果只想要一片，在哪裡切下都可以。反正都一樣。
沒有人認可這個觀點，因此後來一個叫克萊恩的科學家提出，五維與其他維不同，它捲曲得很小。後來，弦論家們用現在所謂的卡魯扎-克萊因理論（Kaluza-Klein theory）來描述他們的萬有理論（Theoryof Everything）。
但假如卡魯扎是對的呢？假設宇宙確實存在一模一樣的第五維度呢？如果不完全一樣又如何呢？這就是本文所討論的觀點：通過求經典進化方程均值來量化場。本文將從數學上簡單介紹五維在量子理論中的合理性。
五維的含義
本文的基本觀點是：宇宙存在第五維度，但它通常無法被探測到，這並不是因為一切都完全相同，而是因為測量物體時，人們只能感知一個平均值或隨機值。如果這是真的，那就意味著量子力學不是隨機的，而是在幾乎看不見的維度上做經典運動的結果。
做一個類比：想像有一盒密封的氣體，其處於平衡狀態，不會隨時間變化。把氣壓表或溫度計放進盒子裡，總能得到相同的讀數，比如1個大氣壓和20攝氏度。然而，盒子裡每一個氣體分子都在不斷運動。所以氣體隨時間發生著改變，但是我們感覺不到，因為我們太大了，只能測量那些永遠不變的平均值。
量子力學亦是如此。宇宙不僅隨時間變化，而且在五維空間變化。
熵值（entropy，熱力學函數）總是隨時間而增大，但在五維空間，熵作為混亂或信息的參量，本質上是恆定的。這個恆定的熵使得五維運動不可見，下文將繼續說明這一點。
思維實驗
假設要造一個可以測量五維變化的時鐘，這個鐘不會在時間維度上發生改變，它只能在量子維度上變化。所有時鐘都基於某些正在做的功而運作，即勢能轉化為動能，例如落石或落水、旋轉的行星、放鬆的彈簧或衰變的放射性原子。同樣地，我們似乎可以通過一些類似的能量轉換來判定量子維度的變化。
基於卡拉威（Callway）的工作，本文介紹了某種類似量子維度動能的東西，它是整個量子物理的必要組成部分。因此，基於我們準備好的量子場可以造一個時鐘，並且可以根據它在這種動能形式中的變化來進行測量。
現在，時鐘依賴於另一個原理，那就是增加熵。這是一個更微妙的問題，為了記錄時間的流逝，我們必須知道至少兩個時間點——過去和現在。為此，時鐘必須做有用功，這需要某種能量流和增加熵（這被稱為自由能量流），這讓時鐘具有區分過去和現在的方向性。沒有這種方向性，過去和未來的所有時刻基本上都是相同的。
這就是時鐘在量子維度上不起作用的地方。你可能在任何給定的點上加減時間，所以你最終得到的時間將是隨機的，並且平均為零。
另一種思考五維空間的方法是，它類似於時間，因為我們在穿越它（不像空間，我們可以通過加速而自由移動），但它不像時間那樣有箭頭。時間之箭讓我們能夠感知它，沒有箭頭，就沒有過去和未來，只有現在。解決這個問題的方法之一是觀察我們在量子維度和時間上的流動，並創建一個會隨時間而改變的混合時鐘。
那麼我們能區分量子維度和時間上的變化嗎？或許可以。
布朗運動是一個不錯的類比
目前我們了解量子維度的唯一方法是量子測量，它能感知在此維度中持續發生的個體波動。這些不是平均數，而是對隨機性的度量。
這有點像觀察布朗運動——氣體和液體中微小物體的振動。布朗運動通常是不可見的，除非在顯微鏡下觀察很小的物體。比如說花粉，它會受周圍液體分子的不斷轟擊而振動，從而使布朗運動變得可見。
因此，通過觀察量子效應，如個體光粒子或電子，我們可以認識這一維度，但不能直接感知我們穿過它的流動過程。
你可以用布朗運動做一個時鐘。只需將一粒花粉放在一個點上，並記下位置。然後隨著時間的推移，它將遵循所謂的隨機遊走（random walk）。平均來說，它的移動距離與所用時間的平方根成正比。雖然液體處於平衡狀態，但你不是，所以你可以觀察並記錄。
但在量子力學中也能這麼做嗎？可以。透過第五維度的鏡頭，量子物理學不再神秘或怪異。量子物理學所有的奇怪效應（比如它可以是多個事物，然後在觀察時突然變成一個東西，即量子測量解釋），以及它的非局部性質都可以解釋為穿過第五維度的經典運動（classical motion）。
因此，卡魯扎可能一直是對的，只是錯在沒有把他的發現與量子物理學聯繫起來。相反，他的理論是量子理論的經典極限。
愛卡魯扎·桑·克萊因的其他理由
卡魯扎的觀點值得認可的理由很有許多，如果把第五維度與愛因斯坦的時空廣義相對論相結合，就會發現五維廣義相對論等於四維廣義相對論和電磁學，這意味著電磁是五維的重力。你還可以得到一個標量欄位（即每一點上只有一個數字的欄位），並能決定如何使用它，卡魯扎假設它是恆定的。
如果像卡魯扎那樣做一個嚴密的圓柱度假設，就會得到兩個力，但是如果稍微放鬆一下，你也可以證明物質本身只是五維的時空曲率變化。這意味著沒有實際的物質，只有時空幾何學。
保羅·韋斯森（Paul Wesson）生前一直是這個觀點的主要支持者（他還提出質量與另一個維度/標量場有關）。其基本思想是，如果假設存在第五維度，就不需要物質了。只有在真空中才需要愛因斯坦的理論。（這個理論不能解釋很多像規範力這樣的量子現象，所以它是不全面的。）
韋斯森的方法非常經典，而我的方法完全是量子理論（儘管不是萬能的）。因此，該理論認為第五維度不僅與電磁和物質有關，還與量子物理，以及在該理論中觀察到的所有奇怪現象有關。
如何肯定？
第五維度真實與否，取決於能否脫離標準理論來觀察它。例如，不同之處在於觀察的過程，這些過程可能是在維度中流動，也可能確實是隨機行為。這個概念叫做遍歷性（ergodicity）。
遍歷性是一個雅稱，指的是物理過程在時間上的均值，與其在構形空間上的均值之比。這個空間可以有任何可能的分子排列，比如一盒空氣中的一系列分子。一盒分子是遍歷的，因為在無限長的時間內，可以得到每一個可能的構型。
如果一個系統在無限長的時間內存在無法得到的組態，那麼它就是非遍歷的。如果量子理論是五維中的流，那麼任何非遍歷量子系統都將不同於標準量子理論，因為構形空間上的均值是標準量子理論的基礎。
另一種可能是，即使所有的物質和力都是遍歷的，有些可能沒有所謂的熱力學極限，也就是說它們根本沒有標準量子理論。重力可能就是如此。在這種情況下，重力作為五維流行的理論可能存在，而它的標準量子理論卻不存在。
史蒂芬·霍金在他的黑洞熱力學理論中就遇到了這個問題。黑洞的熱力學極限在標準統計理論中並不存在，但它確實以時間流的形式存在。
無論如何，雖然我們沒有意識到自己正在穿過第五維度，但這並不代表我們不能影響這個運動。愛因斯坦指出，我們可以通過加速或靠近中子星或黑洞等強引力物體來及時改變自身的運動。我們也許不能及時掉頭，但可以在一定程度上影響它。
在五維中可能也是類似的，所以，發現並利用五維可以開拓科學和工程廣泛的可能性，而這些是四維無法實現的。
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