描述性統計分析之標準差

2021-03-02 小杜聊科研

標準差（standard deviation, SD）用來衡量一組數據的變異性或分散性，單位與該組數據的單位相同。

 

標準差的表示方法有兩種：

1. 平均值±標準差，並且聲明後面這個值就是標準差。例如下圖：

2. 有人認為，由於標準差是單個值，因此不應該跟隨正負號，應該單獨表示。例如下圖：

標準差的計算步驟如下：

1. 計算每個值與樣本均值之差的平方；

2. 將這些值加起來；

3. 將總和除以N-1（此時稱為方差）；

4. 取平方根求得標準差。

 

在第三步中，為什麼是除以N-1而不是N？

 

因為我們想通過樣本來推斷整體，得出一般性的結論，也就是說我們想知道的是總體的SD，除以N-1算出來的是對總體標準差的最佳估測。在步驟1中，計算每個值與平均值之間的差，這裡的平均值是樣本的平均值，總體的平均值是不知道的，樣本的均值與真實的總體均值是有差異的；在第2步中算出的值要比使用真實的總體均值要小（不可能大），所以除以N-1而不是除以N。

 

當然，如果只是量化一組特定數據的變化，並不打算進行推斷以得出更廣泛的結論，這個時候就除以N，得出的SD就是這組特定數據的SD。比如，在量化考試成績之間的差異時，全年級全部人的考試成績都用來分析。

GraphPad中計算SD是基於N-1的，excel中函數STDEV ()是基於N-1，函數STDEVP ()是基於N的。

 

當數據來自高斯分布時，約有68%的數據分布在平均值±一個標準差之內，約有95%的數據分布在平均值±兩個標準差之內。如下圖所示：

當數據來自非高斯分布時，至少75％的值在平均值±兩個標準差之內，至少89％的值在平均值±三個標準差之內。

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