「數學所講座」始於2010 年, 宗旨是介紹現代數學的重要內容及其思想、方法和影響, 拓展科研人員和研究生的視野, 提高數學修養和加強相互交流、增強學術氣氛. 那一年的8 個報告整理成文後集成《數學所講座2010》, 楊樂先生作序,於2012 年由科學出版社出版發行.之後逐年推出報告文集，迄今已推出6本，這些文集均受到業內人士的歡迎. 這對報告人和編者都是很大的鼓勵.
▲ 數學所講座 2010-2016
最新推出的《數學所講座 2016》（張曉等主編. 北京: 科學出版社, 2020. 5）系根據2016 年數學所講座的8 個報告整理而成, 按報告的時間順序編排. 如同前面的文集, 在整理過程中力求文章容易讀, 平易近人, 流暢, 取捨得當. 文章要求數學上準確, 但對嚴格性的追求適度, 不以犧牲易讀性和流暢性為代價.
數學的應用是極其廣泛的, 其他學科不斷產生很好的數學問題, 這些對數學的發展都是極其重要的推動力量. 報告內容的選取反映了作者對數學和應用的認識與偏好, 但有一點是共同的, 它們都是主流, 有其深刻性. 希望這些文章能對讀者認識現代數學及其應用有益處.
K-等價與代數閉鏈／王金龍
「K- 等價」是從雙有理幾何學極小模型的不唯一性所自然引發的一個基本概念. 這個等價關係是如此自然而簡單, 使得它與許多不同的幾何分支都有密切聯繫.
這個報告將先簡單回顧二十年來一些基於各種積分理論的初步數值結果, 然後談到我在ICCM-2001 提出的K- 等價猜想, 以及近年來關於量子上同調環解析延拓的進展.
最後將談到最近利用反常層(perverse sheaves) 的分解定理以及弧線空間(arc space) 的幾何所得到的一些新的幾何進展, 包含周-母題(chow motive) 等價性與代數閉鏈的存在性問題.
泰希米勒空間理論及其應用／劉勁松
泰希米勒(O．TeichmÄuller, 1913|1943) 空間的主要研究對象是黎曼曲面以及黎曼曲面的復結構形變空間, 泰希米勒空間中每個點代表一類黎曼曲面, 每條曲線代表一個形變過程. 自20 世紀50 年代開始泰希米勒空間已經成為現代函數論的一個分支, 它是單複變函數論、多複變函數論、復代數幾何等學科分支的交融, 已經被眾多數學家進行了深入廣泛的研究, 取得了很大的進展, 使它與很多學科分支的相互融合在不斷地加快步伐.
高維仿射李代數——從單位圓談起／郜雲
仿射卡茨-穆迪(Kac-Moody) 李代數是從單位圓到有限單李代數的多項式函數的中心擴張. 將單位圓換成環面, 就得到環面李代數. 高維仿射李代數正是環面李代數的更一般的推廣, 它是由數學物理學家最先提出來的. 這類李代數的根系恰好是齋藤恭司(Kyoji Saito) 在研究奇異理論時引進的高維仿射根系. 高維仿射李代數還與代數幾何學家斯洛多維(Slodowy) 的相交矩陣李代數及伯曼-穆迪(Berman-Moody) 和本卡爾特-澤曼諾夫(Benkart-Zelmanov) 等學者研究的根系分次李代數有緊密的聯繫, 其中A 型高維仿射李代數有豐富的結構理論, 比如, 它容許量子環面、凱萊環面和若爾當(Jordan) 環面作為坐標代數. A 型高維仿射李代數的分類還涉及量子環面的孔涅(Connes) 循環同調群. 坐標代數是量子環面的A 型高維仿射李代數被金茨伯格-卡普拉諾夫-瓦塞洛特(Ginzburg-Kapranov-Vasserot) 在研究代數曲面的朗蘭茲互反律(Langlands reciprocity) 時進行了量子化. 這些代數的表示如頂點算子、酉表示及源於可解格模型(Solvable lattice model) 的表示等已被許多學者研究.
特殊拉格朗日方程／袁域
本文介紹特殊拉格朗日方程和相關完全非線性橢圓方程的定義、幾何背景、基本性質以及相關研究進展. 包括整體解的剛性、二階導數先驗估計、奇異解反例的構造和對應拋物方程以及孤立子解的性質.
從太陽系的穩定性問題談起／尚在久
本報告主要圍繞基於牛頓運動方程提出的太陽系的穩定性問題, 簡要介紹經典力學和數學的若干交叉發展歷史片段, 從中窺探科學如何推動數學基礎理論發展, 數學的基礎理論成果如何應用於解釋自然現象或者解決科學問題.
典型李群和它們的表示／孫斌勇
6.1 群和拓撲群
6.2 典型李群
6.3 極大緊子群和極大環面子群
6.4 有限維表示
6.5 經典分歧律
6.6 經典不變量理論
6.7 無窮維表示
6.8 Theta對應理論
6.9 局部Gan-Gross-Prasad猜想
隨機分析與幾何／李向東
這個報告的目的是從隨機分析與偏微分方程、調和分析、微分幾何相結合的角度向從事相關數學理論研究的同行和研究生介紹並展示這些領域相互滲透、相互交融、相互促動的一些畫面, 以及我個人對隱藏在這些畫面背後的一些數學思想的不太成熟的思考.
引力的全息性質及其應用／蔡榮根 楊潤秋
8.1 引力與時空彎曲
8.2 從黑洞熱力學到全息原理
8.3 全息對偶在超導模型中的應用
本文摘編自《數學所講座. 2016》（張曉等主編. 北京: 科學出版社, 2020. 5）一書，有刪減修改，標題為編者所加。
ISBN 978-7-03-064651-4
責任編輯：李 欣 李香葉
中國科學院數學研究所一批中青年學者發起組織了數學所講座, 介紹現代數學的重要內容及其思想、方法, 旨在開闊視野, 增進交流, 提高數學修養.本書的文章系根據2016 年數學所講座8 個報告的講稿整理而成, 按報告的時間順序編排. 具體內容包括：K-等價與代數閉鏈、泰希米勒空間、高維仿真李代數、特殊拉格朗日方程、從太陽系的穩定性談起、典型李群及其表示、隨機分析與幾何、引力的全息性質及其應用等.
本書可供數學專業的高年級本科生、研究生、教師和科研人員閱讀參考,也可作為數學愛好者提高數學修養的學習讀物.
（本文編輯：劉四旦）
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