圖1 神經網絡構造的例子（符號說明：上標[l]表示與第l層；上標（i）表示第i個例子；下標i表示矢量第i項）
單層神經網絡
圖2 單層神經網絡示例
神經元模型是先計算一個線性函數（z=Wx+b），接著再計算一個激活函數。一般來說，神經元模型的輸出值是a=g(Wx+b)，其中g是激活函數（sigmoid,tanh, ReLU, …）。
數據集
假設有一個很大的資料庫，裡面記錄了很多天氣數據，例如，氣溫、溼度、氣壓和降雨率。
問題陳述：
一組訓練數據m_train，下雨標記為（1），不下雨標記為（0）。
一個測試數據組m_test，標記是否下雨。
每一個天氣數據包含x1=氣溫，x2=溼度，x3=氣壓。
機器學習中一個常見的預處理步驟是將數據集居中並標準化，這意味著從每個示例中減去整個numpy數組的平均值，然後將每個示例除以整個numpy數組的標準偏差。
通用方法（建立部分算法）
使用深度學習來建造模型
1. 定義模型構造（例如，數據的輸入特徵）
2. 初始化參數並定義超參數
迭代次數
在神經網絡中的L層的層數
隱藏層大小
學習率α
3. 迭代循環
正向傳播（計算電流損耗）
計算成本函數
反向傳播（計算電流損耗）
升級參數（使用背景參數和梯度）
4. 使用訓練參數來預測標籤
初始化
更深層次的L-層神經網絡的初始化更為複雜，因為有更多的權重矩陣和偏置向量。下表展示了不同結構的各種層級。
表1 L層的權重矩陣w、偏置向量b和激活函數z
表2 示例架構中的神經網絡權重矩陣w、偏置向量b和激活函數z
表2幫助我們為圖1中的示例神經網絡架構的矩陣準備了正確的維度。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
nn_architecture = [
{"layer_size": 4,"activation": "none"}, # input layer
{"layer_size": 5,"activation": "relu"},
{"layer_size": 4,"activation": "relu"},
{"layer_size": 3,"activation": "relu"},
{"layer_size": 1,"activation": "sigmoid"}
]
def initialize_parameters(nn_architecture, seed = 3):
np.random.seed(seed)
# python dictionary containingour parameters "W1", "b1", ..., "WL","bL"
parameters = {}
number_of_layers = len(nn_architecture)
for l in range(1,number_of_layers):
parameters['W' + str(l)] =np.random.randn(
nn_architecture[l]["layer_size"],
nn_architecture[l-1]["layer_size"]
) * 0.01
parameters['b' + str(l)] =np.zeros((nn_architecture[l]["layer_size"], 1))
return parameters代碼段1 參數初始化
使用小隨機數初始化參數是一種簡單的方法，但同時也保證算法的起始值足夠好。
記住：
· 不同的初始化工具，例如Zero,Random, He or Xavier，都會導致不同的結果。
· 隨機初始化能夠確保不同的隱藏單元可以學習不同的東西（初始化所有權重為零會導致，所有層次的所有感知機都將學習相同的東西）。
· 不要初始化為太大的值。
激活函數
激活函數的作用是為了增加神經網絡的非線性。下例將使用sigmoid and ReLU。
Sigmoid輸出一個介於0和1之間的值，這使得它成為二進位分類的一個很好的選擇。如果輸出小於0.5，可以將其分類為0；如果輸出大於0.5，可以將其分類為1。
def sigmoid(Z):
S = 1 / (1 + np.exp(-Z))
return S
def relu(Z):
R = np.maximum(0, Z)
return R
def sigmoid_backward(dA, Z):
S = sigmoid(Z)
dS = S * (1 - S)
return dA * dS
def relu_backward(dA, Z):
dZ = np.array(dA, copy = True)
dZ[Z <= 0] = 0
return dZ代碼段2 Sigmoid和ReLU激活函數，及其衍生物
在代碼段2中，可以看到激活函數及其派生的矢量化編程實現。該代碼將用於進一步的計算。
正向傳播
在正向傳播中，在層l的正向函數中，需要知道該層中的激活函數是哪一種（sigmoid、tanh、ReLU等）。前一層的輸出值為這一層的輸入值，先計算z，再用選定的激活函數計算。
圖3 神經網絡的正向傳播
線性正向模塊（對所有示例進行矢量化）計算以下方程式：
方程式1 線性正向函數
def L_model_forward(X, parameters, nn_architecture):
forward_cache = {}
A = X
number_of_layers =len(nn_architecture)
for l in range(1,number_of_layers):
A_prev = A
W = parameters['W' + str(l)]
b = parameters['b' + str(l)]
activation =nn_architecture[l]["activation"]
Z, A =linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation)
forward_cache['Z' + str(l)] =Z
forward_cache['A' + str(l)] =A
AL = A
return AL, forward_cache
def linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation):
if activation =="sigmoid":
Z = linear_forward(A_prev, W,b)
A = sigmoid(Z)
elif activation =="relu":
Z = linear_forward(A_prev, W,b)
A = relu(Z)
return Z, A
def linear_forward(A, W, b):
Z = np.dot(W, A) + b
return Z代碼段3 正向傳播模型
使用「cache」（python字典包含為特定層所計算的a和z值）以在正向傳播至相應的反向傳播期間傳遞變量。它包含用於反向傳播計算導數的有用值。
損失函數
為了管程學習過程，需要計算代價函數的值。下面的公式用於計算成本。
方程式2 交叉熵成本
def compute_cost(AL, Y):
m = Y.shape[1]
# Compute loss from AL and y
logprobs =np.multiply(np.log(AL),Y) + np.multiply(1 - Y, np.log(1 - AL))
# cross-entropy cost
cost = - np.sum(logprobs) / m
cost = np.squeeze(cost)
return cost代碼段4 代價函數的計算
反向傳播
反向傳播用於計算參數的損失函數梯度。該算法是由微分學中已知的「鏈規則」遞歸使用的。
反向傳播計算中使用的公式：
方程式3 反向傳播計算公式
鏈式法則是計算複合函數導數的公式。複合函數就是函數套函數。
方程式4 鏈規則示例
「鏈規則」在計算損失時十分重要（以方程式5為例）。
方程式5 損失函數（含替換數據）及其相對於第一權重的導數
神經網絡模型反向傳播的第一步是計算最後一層損失函數相對於z的導數。方程式6由兩部分組成：方程式2損失函數的導數（關於激活函數）和激活函數「sigmoid」關於最後一層Z的導數。
方程式6 從4層對z的損失函數導數
方程式6的結果可用於計算方程式3的導數。
方程式7 損失函數相對於3層的導數
在進一步計算中，使用了與第三層激活函數有關的損失函數的導數（方程式7）。
方程式8 第三層的導數
方程式7的結果和第三層活化函數「relu」的導數用於計算方程式8的導數（損失函數相對於z的導數）。然後，我們對方程式3進行了計算。
我們對方程9和10做了類似的計算。
方程式9 第二層的導數
方程式10 第一層的導數
總體思路
從第一層層對z的損失函數導數有助於計算（L-1）層（上一層）對損失函數的導數。結果將用於計算激活函數的導數。
圖4 神經網絡的反向傳播
def L_model_backward(AL, Y, parameters, forward_cache, nn_architecture):
grads = {}
number_of_layers =len(nn_architecture)
m = AL.shape[1]
Y = Y.reshape(AL.shape) # afterthis line, Y is the same shape as AL
# Initializing thebackpropagation
dAL = - (np.divide(Y, AL) -np.divide(1 - Y, 1 - AL))
dA_prev = dAL
for l in reversed(range(1,number_of_layers)):
dA_curr = dA_prev
activation =nn_architecture[l]["activation"]
W_curr = parameters['W' +str(l)]
Z_curr = forward_cache['Z' +str(l)]
A_prev = forward_cache['A' +str(l-1)]
dA_prev, dW_curr, db_curr =linear_activation_backward(dA_curr, Z_curr, A_prev, W_curr, activation)
grads["dW" +str(l)] = dW_curr
grads["db" +str(l)] = db_curr
return grads
def linear_activation_backward(dA, Z, A_prev, W, activation):
if activation =="relu":
dZ = relu_backward(dA, Z)
dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
elif activation =="sigmoid":
dZ = sigmoid_backward(dA, Z)
dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
return dA_prev, dW, db
def linear_backward(dZ, A_prev, W):
m = A_prev.shape[1]
dW = np.dot(dZ, A_prev.T) / m
db = np.sum(dZ, axis=1,keepdims=True) / m
dA_prev = np.dot(W.T, dZ)
return dA_prev, dpython編寫知乎爬蟲實踐W, db代碼段5 反向傳播模塊
更新參數
該函數的目標是通過梯度優化來更新模型的參數。
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
L = len(parameters)
for l in range(1, L):
parameters["W" +str(l)] = parameters["W" + str(l)] - learning_rate *grads["dW" + str(l)]
parameters["b" +str(l)] = parameters["b" + str(l)] - learning_rate *grads["db" + str(l)]
return parameters代碼段6 使用梯度下降更新參數值
全模型
神經網絡模型的完整實現包括在片段中提供的方法。
def L_layer_model(X, Y, nn_architecture, learning_rate = 0.0075,num_iterations = 3000, print_cost=False):
np.random.seed(1)
# keep track of cost
costs = []
# Parameters initialization.
parameters =initialize_parameters(nn_architecture)
# Loop (gradient descent)
for i in range(0,num_iterations):
# Forward propagation:[LINEAR -> RELU]*(L-1) -> LINEAR -> SIGMOID.
AL, forward_cache =L_model_forward(X, parameters, nn_architecture)
# Compute cost.
cost = compute_cost(AL, Y)
# Backward propagation.
grads = L_model_backward(AL,Y, parameters, forward_cache, nn_architecture)
# Update parameters.
parameters =update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
# Print the cost every 100training example
if print_cost and i % 100 ==0:
print("Cost afteriteration %i: %f" %(i, cost))
costs.append(cost)
# plot the cost
plt.plot(np.squeeze(costs))
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (pertens)')
plt.title("Learning rate=" + str(learning_rate))
plt.show()
return parameters代碼段7 整個神經網絡模型
只需要將已知的權重和系列測試數據，應用於正向傳播模型，就能預測結果。
可以修改snippet1中的nn_架構，以構建具有不同層數和隱藏層大小的神經網絡。此外，準備正確實現激活函數及其派生函數（代碼段2）。所實現的函數可用於修改代碼段3中的線性正向激活方法和代碼段5中的線性反向激活方法。
進一步改進
如果訓練數據集不夠大，則可能面臨「過度擬合」問題。這意味著所學的網絡不會概括為它從未見過的新例子。可以使用正則化方法，如L2規範化（它包括適當地修改成本函數）或退出（它在每次迭代中隨機關閉一些感知機）。
我們使用梯度下降來更新參數和最小化成本。你可以學習更多高級優化方法，這些方法可以加快學習速度，甚至可以為成本函數提供更好的最終價值，例如：
· 小批量梯度下降
· 動力
· Adam優化器