2018中考數學知識點:三角形的重心公式證明

2020-12-11 中考網

　　重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理來證明。

　　三角形的重心

　　已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。求證：F為AB中點。

　　證明：根據燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

　　重心的幾條性質：

　　1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

　　2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

　　3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

　　4.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標：(Z1+Z2+Z3)/3

　　5.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

　　如果用塞瓦定理證，則極易證三條中線交於一點。

　　如圖，在△ABC中，AD、BE、CF是中線

　　則AF=FB，BD=DC，CE=EA

　　∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

　　∴AD、BE、CF交於一點

　　即三角形的三條中線交於一點

　　其實考試中不會單獨的出現關於三角形的重心問題，而是綜合圖形知識要領，這就需要大家準確的分析了。

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