爭議漩渦中的「美國數模競賽」

2020-12-17 中國青年報

1月底,黃文韜在參加美賽期間為論文繪製插圖。受訪者供圖

今年的美國大學生數學建模競賽(MCM/ICM,以下簡稱「美賽」)的成績已經揭曉一個多月,而圍繞這場比賽的爭議卻難以平復。當記者將目光聚焦這項由美國數學及其應用聯合會(COMAP)舉辦的競賽才發現,今年參賽的2.5萬餘支隊伍中,95%以上來自中國。

批評相對集中在:被判「取消資格」的參賽者比例大幅上升,不少人在網上為自己喊冤;有人認為這項「國際性比賽」基本都是中國學生參加、中國老師閱卷,所以「很水」;另外,去年參賽者信用卡遭遇盜刷一事再次進入人們視野。

在中國學生參與這一競賽的第31個年頭,美賽在中國面臨前所未有的爭議。

快速膨脹的中國參賽隊

今年1月底,大三學生黃文韜和兩個同學組隊參加了美賽,在6道題目中,他們選擇了一個「腦洞很大」的題目:如果美劇《權力的遊戲》中的龍放在現實中養殖,需要怎樣的生態環境才能保證它們生存、繁殖?

這不是美賽第一次「腦洞大開」,2017年,美賽還有過一道以移民火星為背景的題目。

就在這3個大三男生興奮地探討賽題、劃分任務的時候,中國還有六七萬名本科生在跟他們做類似的事兒:在96個小時之內,在6道賽題中任選一題,構建數學模型、寫運算程序,最終完成一篇英文論文。

再過96個小時,將有兩萬多份英文論文從中國數百所學校跨越太平洋湧入美賽官方郵箱。

自1985年誕生以來,這個一年一度的數學建模競賽參與人數年年攀升,今年再創歷史新高,而中國學生貢獻了絕大多數的增長量。

1989年3月,北京理工大學教師葉其孝在《高校應用數學學報》撰文介紹美賽,他認為,這項競賽貼近實際應用,可以引發學生學習數學的興趣、鍛鍊學生利用數學知識解決實際問題的能力。葉其孝在文中列舉了幾道往年的試題,如:某鎮請你設計停車場地面上的線的劃法,以便既能容納較多的車輛,而且又不至於使車輛剮蹭風險太高;考慮合理的買入價格和賣出價格、儲存量等因素,來設計金屬鈷的儲存管理數學模型。

就在此文發表前不久,北京大學、清華大學和北京理工大學的學生分別組隊參賽。這是中國學生第一次參加美賽,在211支參賽隊伍中佔了4席。

彼時,這項賽事誕生僅4年,也是當時美國唯一一項數學建模競賽。在那之前,美國的數學競賽多年來一直由普特南數學競賽「一統江山」,但普特南數學競賽因理論性較強,因而只能吸引在數學方面有極高興趣和能力的學生。美賽則試圖改變這種傾向,它考察的數學建模能力,就是用數學方法構建模型,以便用簡化的方式來解決實際問題,對參賽者不限專業。

3年後,仿照美賽而組織起來的全國大學生數學建模競賽(以下簡稱「國賽」)在中國孵化出來。

侯木舟大約從2000年起指導學生參加美賽。他記得,當時他所在的中南大學只有兩支隊伍參加美賽。而在今年,該校有500餘支隊伍參賽。這個參賽規模,在國內高校還排不上第一。

侯木舟記得,過去美賽限定一名指導老師最多指導兩支參賽隊、一所學校最多有10支隊伍參賽,但大約2010年前後這個限制取消了。

從COMAP發布的歷年參賽數據中,不難看出中國學生一年比一年高漲的參賽熱情。

1997年,共有409支隊伍參賽,其中271支隊伍來自美國,107支隊伍來自中國大陸、兩支隊伍來自中國香港。

20年後的2017年,美國的參賽隊伍增加了不到一倍;中國的參賽隊伍則增加了100倍以上,總數早已破萬。

高漲的參賽熱情,傳遞到閱卷老師手中,就是逐年增加的閱卷量。

過去,美賽論文均由美國老師評閱,而發表於2012年的《美國大學生數學建模競賽數據及評閱分析》一文提到:「從2013年起,全國大學生數學建模競賽組委會聯合中國工業與應用數學學會數學模型專業委員會,將與COMAP(美賽組織者)合作,共同評閱美賽論文。同時,COMAP也將派專家參加國賽的全國評閱工作。」次年3月,《數學建模及其應用》雜誌發表新聞簡報,稱「中美兩國首次實現MCM的合作評審」,全國大學生數學建模競賽組委會邀請了國內的35名專家參加第一階段評審。

五六年前,同濟大學數學科學學院教授陳雄達受邀參加美賽的閱卷工作。他告訴記者,論文初評在網上進行,每份論文同時由一位中國老師和一位美國老師評閱,雙方沒有交流;優秀論文會進入終評階段,這一階段需要評委面對面討論,大部分終評評委由美國老師擔任,受邀參加終評的中國老師則需要赴美閱卷,終評階段會產生特等獎和特等獎提名。這幾年來,陳雄達負責評閱的論文數量從100多份增加到今年的200份出頭。

對於中國隊伍在這項「國際性」競賽中極高的比例,有人感到頗為怪誕。但這在國內數模競賽的開拓者們眼中是巨大的成就——他們不無自豪地在文章中表示,數模競賽起源於美國,卻在中國開花結果。

保研、落戶加分、宣傳亮點

奮戰96個小時後,黃文韜和隊友提交了一篇洋洋灑灑的關於養龍的論文,為了讓論文更出眾,黃文韜還發揮素描特長,為論文配上手繪的插圖。

4月,競賽結果揭曉,黃文韜和隊友獲得了特等獎(Outstanding Winner),和一份500美元的獎學金。

除此之外,這3個大三男生還有望得到研究生推免資格。

美賽在中國蔚為大觀,不少人認為這與各種加分政策有很大關係。

同濟大學教授陳雄達負責學校的數學建模教學、培訓工作多年,他認為,中國參賽隊伍快速增長的背後有很多力量推動,既有學校的鼓勵,也因為學生喜歡。

陳雄達說,同濟大學學生若在美賽獲獎,學校會提供一筆獎金,獲獎學生還可能得到保研加分、數模相關課程的成績評為「優」等獎勵,上海市對某些類別的建模競賽也有相應的落戶加分政策。

據記者了解,類似情況在國內高校比較普遍,美賽作為國際性比賽,在學生評獎、評優中的確佔有一席之地。對於計劃出國深造的學生來說,這項國際性賽事也可以為簡歷增加分量。

林遠(化名)曾在11年前和同學一起參加過一次美賽,對比今天的參賽盛況,林遠認為,當年參加美賽時加分政策很少,大家還是比較純粹地出於興趣而參賽,不像現在這麼功利。

在「國際性比賽」的名頭加持之下,許多院校對美賽也趨之若鶩。

許多名不見經傳的院校宣稱本校學生在美賽中「同哈佛大學、普林斯頓大學、麻省理工學院、清華大學、北京大學……等國際知名高校……隊伍同臺競技」,最終獲得「國際××獎」。

國際性比賽、多所國內外名校的學生參與、全英文論文……對於實力較弱的院校來說,美賽自帶的光環很容易製造出宣傳亮點。而且只要參賽者按照規範提交論文,就不難拿到「獎項」。

記者查閱近年來美賽的統計數據發現,通常50%以上的論文會被評定為「成功參賽」(Successful Participants),30%左右的論文會被評定為「榮譽提名」(Honorable Mention),10%~15%的論文會被評定為「優異」(Meritorious)。根據美賽中文官網的信息,這3種等級分別對應「合格論文」「乙級論文」「甲級論文」,與「獎項」不完全對應。

而在許多院校的自我宣傳中,它們分別變成了「國際三等獎」(或「成功參賽獎」)「國際二等獎」(或「榮譽提名獎」)「國際一等獎」。這些院校沒有提到的是,在這三類「獎項」之上,還有佔比不到2%的「特等獎提名」和「特等獎」,以及寥寥無幾的冠名獎,只有後者才是有獎金的項目。

參賽隊伍的快速膨脹、高調宣傳,讓人們開始質疑美賽的含金量。

知乎用戶張浩馳查詢了哈佛大學、麻省理工、加州大學伯克利分校等幾所美國名校的官網後發現,這些學校都較少或完全沒有提及美賽。但他認為,不必因此就否認美賽的含金量,至少有很多優秀的中國選手可以一較高下,而且美賽給了本科生一次英文論文寫作的機會,對於未來參與科研會有幫助。但他也會提醒學弟學妹,不能把美賽當作靈丹妙藥,「真想提高水平,還是老老實實去看課本、查文獻」。

陳雄達認為,數模競賽與理工科的教育目的有很高的契合度——數模競賽考察學生解決實際問題的能力,在這個過程中學生需要自己查找資料、編程,最終將解決方案用文字表達出來,各種知識由此可以形成體系。而目前國際性的數模競賽很少,美賽的含金量還算比較高。

不止一位受訪者向記者表示,大學生花時間參加美賽,總比打遊戲要好。

還有不少參賽者吐槽「美賽獲獎是玄學」。

一位參加過美賽和國賽的學生告訴記者,國賽在比賽結束後會公布賽題點評、列出答案要點,對照來看,對於論文能得何種獎項就基本心裡有數了,但是美賽論文得獎情況就很難預測。

黃文韜認為,國賽、美賽雖然都是數學建模競賽,但很能體現中美的思維差異——國賽的出題背景一般是工程學問題、一般有最優解法,而美賽無論是出題背景還是解法上面都開放許多。陳雄達告訴記者,評閱美賽論文時有評分細則,但實際上不可能將所有論文都嚴格按照好壞次序排列,只能保證把最優秀的論文選出來。

美賽主辦方工作人員John Tomicek在回覆中國青年報·中青在線記者的郵件中表示:「儘管我們每年都會選出一些出色的參賽團隊,但是美賽的主要目的不在於獎勵這些學生,而是希望在教育系統中推廣數學建模。我們熱誠地相信,通過將數學應用於當代來進行數學教學,會惠及更多學生。」

圍繞美賽的灰色區域

論文獲獎後,黃文韜多次收到陌生人發來的信息,對方表示希望借他美賽特等獎得主的名義來組織針對美賽的付費培訓。

黃文韜沒有回應對方的邀請。早在參賽之前,他就聽說了圍繞美賽而生的灰色產業鏈:有人在比賽期間有償「分享」解題思路,乃至代寫參賽論文,收費幾千元到上萬元不等。「得了O獎(即「特等獎」)或F獎(即「特等獎提名」),自然而然就有人來找你」。

記者在國內某電商平臺看到,有的賣家委婉表示可以提供「美賽全程服務」;有的賣家則直接聲稱可以代做各種數模競賽,國內知名的「美賽」「國賽」「深圳杯」「華為杯」等赫然在列,並自稱是「211/985院校數學建模碩博團隊」、有豐富的數學建模競賽經驗及獲獎經歷。

記者還看到,在商品詳情頁上,某賣家貼出疑似與買家的微信對話截圖,對方因賣家代做的論文獲獎而表示感謝。在商品評價欄中,有的買家提到該店的代做服務幫自己在數模競賽上獲獎,並表示自己正在找工作,希望靠這一獎項給簡歷加分。

儘管有明確的比賽規則,但美賽作為一項通訊競賽,並沒有範圍明確的考試場地,也就很難在競賽期間了解參賽者的舉動,遵紀與否,幾乎全憑參賽者自覺。

林遠現供職於某數學培訓機構,他回憶,數年前,在美賽舉辦期間,國內的數模論壇上就會出現翻譯試題的帖子。後來美賽官方多次重申比賽紀律,這類帖子才逐漸消失。

陳雄達也注意到,有人會在競賽期間開通「網絡教室」,直接講解題思路。陳雄達告訴記者,在美賽期間參加「付費交流」,很可能會導致這些參賽者提交的論文思路相似,因而被判定為「抄襲」。

美賽主辦方工作人員John Tomicek在回覆中國青年報·中青在線記者的郵件中表示,他們會藉助軟體,對比同一賽題的所有論文的相似度,如果論文被認定為「抄襲」,會導致參賽者「取消資格」(Disqualified)。

比作弊更常見的,是比賽期間的「交流」。按照美賽官方的要求,參賽者在競賽期間「可以利用任何非生命(計算機、軟體、參考書目、網站、書籍等)提供的數據和資料」,但是「不得向指導教師或本團隊成員以外的人尋求幫助或討論問題」。

但上述規定顯然未得到足夠重視。記者在某院校官網看到一篇題為《我校學子首次參加美國大學生數學建模競賽獲佳績》的「喜訊」,文中配了一張幾個人交談的照片,並稱這是「參賽期間教授××老師對學生的疑問進行指導」。

參賽者的誠信問題也令中國的數模專家感到憂心。在發表於六七年前的《告數學建模愛好者的一封信》一文中,清華大學數學科學系教授謝金星提到:「美國大學生建模競賽的組織者也多次向我抱怨,他們經常會收到有關中國參賽隊不遵守規則、網站幫助作弊等行為的投訴,對此類違規行為感到非常氣憤,並對中國學生的誠信問題表示關注和擔憂。」

今年新年到來之際,這名致力於推廣數模競賽多年的數學教授再次發表公開信,呼籲學生誠信參賽,他在文中提醒:參賽同學不得在競賽期間加入或留在討論與賽題有關問題的群(由同一參賽隊的隊員組成的群除外),如果參賽者所在的群內有人發布有關參考文獻或者幫助理解賽題,參賽者便會「躺槍」;也不得在競賽期間接受指導教師的任何解題指導,即使只是將論文發給指導教師尋求修改意見,也是「踩雷」了。

去年,就有大量參加國賽的隊伍因「網絡交流」而被取消資格。

今年4月,美賽成績揭曉後,人們驚訝地發現,被判定為「取消資格」(Disqualified)的論文比例從往年的1%飆升至10%。由於今年中國有兩萬多支參賽隊,按照10%的比例計算,「取消資格」的隊伍多達2000多支。

John Tomicek在郵件中表示:「我們今年的確付出了更多的時間和精力來維持比賽紀律,預計明年也會如此。」

John Tomicek說,在競賽期間,網絡會持續受到監控,若參賽者試圖通過「互助」網站或社交媒體尋求幫助,則會被判定為「取消資格」。

但一些參賽者在網上發帖稱,自己比賽期間一直遵守規則,卻收到了「取消資格」的結果,而且美賽官方並未對這一結果作任何解釋,這令他們感到難以接受。

去年12月底,長期從事數學建模教學與研究的韓中庚教授在網上發表文章《給準備參加美賽(MCM/ICM)的學生提個醒!》,文章提到:從2019年起總獲獎比例將減少一半,即總和不超過參賽總數的25%;2019年主辦方COMAP將啟用專業的查重系統,加大查處力度,一旦被DQ(即「取消資格」——記者注)了,相關參賽學生將有被列入失信名單的風險。

而這些重要信息並未出現在美賽官網上。事實上,美賽官方的「佛系」態度也是導致學生不滿的原因之一。

今年4月,美賽成績公布後,因「取消資格」和獲獎比例減半而鬧得沸沸揚揚,中國工業與應用數學學會還在其官網發表聲明稱該會與美賽無關,美賽官網上卻一直沒有動靜。

不少學生抱怨,自己給競賽官方郵箱發郵件詢問自己為何被取消資格,但沒得到回應。有人在問答網站知乎上貼出美賽官方回復的郵件,郵件顯示:如果參賽者想看到閱卷老師對自己論文的評價,需要為這一服務付150美元的費用。這個回復引起了更多不滿。

去年,多名參賽者的信用卡在支付美賽費用後遭盜刷,盜刷事件發生數日之後,美賽官方的回應才姍姍來遲。對此,林遠認為美賽官方「真的太傲慢了」。

John Tomicek告訴記者,美賽主辦方計劃於今年開通一個國際性的社交媒體帳號,「幫助學生和老師在美賽中獲益」。

相關焦點

  • 爭議漩渦中的「美國數模競賽」:95%以上隊伍來自中國
    原標題:爭議漩渦中的「美國數模競賽」  一項國際大學生賽事95%以上的隊伍來自中國  今年的美國大學生數學建模競賽(MCM/ICM,以下簡稱「美賽」)的成績已經揭曉一個多月,而圍繞這場比賽的爭議卻難以平復。
  • 斯坦福復旦教練天團帶你搞定美國數模競賽
    由「有方博雅」教育推出的斯坦福復旦教練帶你搞定美國HiMCM數模競賽。美國高中數學建模競賽(HiMCM)是一項由美國數學及其應用聯合會(COMAP)主辦的國際性數學競賽活動,活動旨在使用數學理論與工具解決現實生活問題。
  • 全國數模競賽再獲大滿貫,南京郵電大學怎麼做到的?
    2020年度全國大學生數學建模競賽成績日前公布,南郵獲全國一等獎6項、全國二等獎6項,這是我校自2015年獲得大滿貫成績以來再獲大滿貫成績。同時,一等獎作品中趙作彥、宋哲書、林志誠三位同學的參賽作品獲評本科組全國優秀論文。
  • 上海財經大學:全國大學生數模競賽SUFE拔得頭籌
    建模競賽方面曾於2017年獲數模校內賽一等獎。  胡香江數模方面,曾獲2017年美國大學生數學建模大賽Honorable Mention獎。  肖雄為了更充分地準備這次競賽,他們翻閱了往年優秀論文,認真地分析其中的思想和整體的框架建立;並且積極參加上海市和學校組織的數模培訓,在各位老師的經驗之談中獲益頗豐。「不過以本次競賽來看,最關鍵的準備工作實際上是長期以來不斷強化的數學基礎和解決實際問題的思維方式。
  • 2020全國數模競賽西安西電成績再創新高 國一獎項數位列全國第一
    數學建模競賽的組織和培訓工作由數學與統計學院全面負責,優異成績的取得是學校各級領導關愛指導、數模教練辛勤付出、參賽學生努力奮鬥的結果,整個過程得到了學校相關部門的大力支持。由數學與統計學院宋月老師指導,電子工程學院18級張子瑩、人工智慧學院18級李哲瀚、黃浩等三位同學組成的隊伍獲評本科組全國優秀論文,這是繼2019年之後我校連續第二年獲得此項殊榮。
  • 2020大學生數模競賽西電國一獎項數再創新高(附名單)
    數學建模競賽的組織和培訓工作由數學與統計學院全面負責,優異成績的取得是學校各級領導關愛指導、數模教練辛勤付出、參賽學生努力奮鬥的結果,整個過程得到了學校相關部門的大力支持。由數學與統計學院宋月老師指導,電子工程學院18級張子瑩、人工智慧學院18級李哲瀚、黃浩等三位同學組成的隊伍獲評本科組全國優秀論文,這是繼2019年之後我校連續第二年獲得此項殊榮。
  • 2019年美國大學生數學建模競賽的基本訊息
    大家好,接著上次的數模競賽接著聊。因為2018年的大小數模競賽(指國家級及以上規模的)差不多已經都結束了,所以同學們可以把目光投向19年的數模競賽。距離最近的數模競賽就是2019年美國大學生數學建模競賽了。
  • 哈工大參加全國大學生數模競賽 被禁止使用MatLab
    可以看到競賽的贊助商中,MATLAB所屬的MathWorks赫然在列,又贊助又不讓用,這個操作著實有點迷人。首先,最直接的影響就是「論文中不能再出現用MATLAB得到的數據與圖表」。這對即將畢業或者正在投稿的學生、老師來說,都是「當頭一棒」。已經完成的,或正在進行中的研究都會倍受影響。一篇學術論文,如果沒有進行數據處理,那麼就是空洞的,基本上是沒有價值的。
  • 南郵:數模「三劍客」的登峰之旅
    4月初,2017年美國大學生數學建模競賽結果出爐,南京郵電大學的李嘉成(計算機學院、軟體學院信息安全)、曹涵(光電工程學院光電信息科學與技術)、黃飆(海外教育學院)組成的數模「三劍客」,不僅獲得競賽特等獎(Outstanding Winner),而且問鼎美國工業與應用數學學會獎(SIAM AWARD,簡稱SIAM獎)。
  • 數模中預測類方法偏AI的走向
    在之前的數模競賽中,即便是美賽O獎的作品中,我們都能看到諸如灰色預測這樣的用MATLAB實現的方法,實際上我們有時間序列,回歸等一系列比較常用的預測方法。
  • 參加這項「國際性」數學建模競賽,慎!
    共青團中央有態度 有溫度 全網青年都在關注導讀今年的美國大學生數學建模競賽(MCM/ICM,以下簡稱「美賽」)的成績已經揭曉一個多月,而圍繞這場比賽的爭議卻難以平復。在中國學生參與這一競賽的第31個年頭,美賽在中國面臨前所未有的爭議。1月底,黃文韜在參加美賽期間為論文繪製插圖。
  • 曝在全國大學生數學建模競賽中被禁用「理工神器」MATLAB
    哈工大學生太難了這次被捲入輿論漩渦的「全國大學生數學建模競賽」號稱是世界上規模最大的數學建模競賽,宣傳語裡直接寫著「一次參賽,終生受益」。該競賽創辦於1992年,每年一屆,是首批列入「高校學科競賽排行榜」的19項競賽之一。2019年,來自全國及美國和馬來西亞的1490所院校/校區、42992隊(本科39293隊、專科3699隊)、近13萬人報名參賽。
  • 全國大學生數學建模競賽背後的故事
    日前,2020年度全國大學生數學建模競賽成績公布,南京郵電大學獲全國一等獎6項、全國二等獎6項。在全國參賽的1470所高校中,該校獲全國一等獎數量與西安電子科技大學等3所高校並列全國第一名,獲全國一、二等獎總數與上海交通大學等高校並列全國第一名。
  • 美國大學生數學建模競賽,華中農大學子斬獲四項一等獎
    楚天都市報5月11日訊(記者鄒浩 通訊員李治)2020年美國大學生數學建模競賽成績日前揭曉,在來自30多個國家和地區的2萬多支參賽隊伍中,華中農業大學學子斬獲佳績,共獲一等獎4項,二等獎17項。在比賽中,大家共同整理歸納看似雜亂無章的數據,剝繭抽絲,嘗試不同的模型,一步步得到結論。負責建模思路與寫作的吳晗說:「當我們意見不統一時,三個人就會積極溝通、討論,探討彼此觀點的不足與合理之處,然後再將意見進行整合,最後得到最可行的方案。」該校理學院楊幽雅、工學院王志遠、文管張之洞班李子薇等三名同學,從大三一開學就相互約好了參加競賽。
  • 距離數模國賽不足半個月,你準備好了嗎?
    現在距離國賽僅剩不到半個月的時間,前陣子各種各樣的數模比賽源源不斷地開展,為大家迎戰國賽提供不少的練習與積累,如何更好地準備競賽論文寫作,參賽時要注意什麼,卻依舊成為大家參賽中最大的困擾,特別是第一次接觸的小夥伴。
  • 曝哈工大在全國大學生數學建模競賽中被禁用 MATLAB
    ,這名網友表明,全國大學生數學建模競賽組委會初步認定哈工大參賽隊伍不能使用MathWorks旗下的MATLAB。今年6月17號,發布了此次2020年全國大學生數學建模競賽的報名通知,通知要求參賽隊伍,務必認真閱讀和理解《全國大學生數學建模競賽章程和參賽規則(2019年修訂稿)》,嚴格按照相關要求參賽。但並未提及使用MathWorks、MATLAB事宜。
  • 5.建立數模
    5.建立數模這一節包括建立數模、數模優化、數模應用。銜接上一步操作現在如果關電腦過,就重新點擊打開項目,然後找到之前保存的項目文件,打開就可以。如果你是一路看下來的,那麼就什麼都不用做,直接接著下面要說的步驟進行即可。
  • 爭議追判與情緒漩渦——詳解京深戰爭議判罰
    細讀規則之後 也許你會認同裁判比賽第四節最後時刻,雙方戰平,深圳外援布克壓哨三分出手落地時與劉曉宇發生肢體接觸,隨後痛苦倒地,主裁判在時間走完的情況下通過回放追判了劉曉宇違體,將勝利的天平撥向了深圳,從而引發爭議。那麼,即時回放是否應該介入?動作是否構成犯規?以及這個違體到底該不該吹?
  • 哈工大在全國大學生數學建模競賽中被禁用MATLAB
    部分哈工大在校學生想尋求問題根源,發郵件與MATLAB開發公司MathWorks進行溝通,MathWorks方面卻回應稱,剛接到通知,根據美國政府最新的進出口管制名單,無法再提供服務,後續請關注學校的通知。
  • 淺談PCB設計中PWM數模轉換器電路的布局
    打開APP 淺談PCB設計中PWM數模轉換器電路的布局 上海韜放電子 發表於 2020-12-10 16:20:00 通常,這是通過數模轉換器組件完成的,但這意味著將另一部分及其相關電路放置在板上。通過使用設計中已經使用的組件中已有的PWM功能,您可以轉換信號而無需在設計中添加其他多引腳組件。以下是有關如何在下一個印刷電路板上設計PWM數模轉換器的更多信息。 由於普通電路板上的大部分電路都是由數字電路組成的,因此將這些信號連接到數字接口設備是一件相當簡單的事情。以一個簡單的開關為例。