蒙特卡洛方法到底有什麼用?

蒙特卡洛方法到底有什麼用？

蒙特卡洛方法（Monte Carlo method，也有翻譯成「蒙特卡羅方法」）是以概率和統計的理論、方法為基礎的一種數值計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯繫，用計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱隨機抽樣法或統計試驗法。上述就是蒙特卡洛方法的基本概念，比較抽象，下面結合實際工作中的理解，談一談對蒙特卡洛方法的一些認識。

（1）首先，蒙特卡洛不是個人名，而是個地名，說明該方法與概率有著密切的關聯。

蒙特卡洛方法的提出者是大名鼎鼎的數學家馮·諾伊曼，搞計算機的不可能不知道他（計算機之父），馮·諾伊曼在20世紀40年代中期用馳名世界的賭城—摩納哥的蒙特卡洛來命名這種方法。（大家也別把蒙特卡洛當一個城市，估計和北京的一條街差不了多少，因為摩納哥（不是非洲的摩洛哥）本身就是個袖珍國家，比我國澳門都小的多）。說明該方法與賭博中的隨機性、概率性有著天然而密切的聯繫。幾乎涉及到複雜的、與概率相關的數值計算的領域都有可能會用到。比如計算物理、經濟金融、統計學、機器學習等。

（2）蒙特卡洛沒有什麼高深的理論，它只是一種方法或者說策略。

蒙特卡洛方法並沒有什麼高深的理論支撐，如果一定要說有理論也就只有概率論或統計學中的大數定律了。蒙特卡洛的基本原理簡單描述是先大量模擬，然後計算一個事件發生的次數，再通過這個發生次數除以總模擬次數，得到想要的結果。比如投3個骰子，計算3個骰子同時是6的概率，可以模擬投N次（隨機樣本數），統計同時是6出現的次數C，然後C除以N即是計算結果。

（3）蒙特卡洛方法可以應用在很多場合，但求的是近似解，在模擬樣本數越大的情況下，越接近與真實值，但樣本數增加會帶來計算量的大幅上升。

蒙特卡洛方法不僅僅是算概率哦，再看一個稍複雜點的實例：求函數y=x2在[0,2]區間的積分，即求如下圖所示的紅色區域的面積。當然直接用數學中的定積分公式算更簡單精確，這裡主要是舉例說明下蒙特卡洛方法的使用過程。

繪圖代碼如下：

2.計算落在紅色區域的比重：

但對於涉及不可解析函數或概率分布的模擬及計算，蒙特卡洛方法是個有效的方法。

我們都玩過套圈圈的遊戲，想過為什麼你總是套不上嗎？用蒙特卡洛方法來算一算。

1.設物品中心點坐標為（0,0），物品半徑為5cm。

2.設投圈半徑8cm，投圈中心點圍繞物品中心點呈二維正態分布，均值μ=0cm，標準差σ=20cm，模擬1000次投圈過程。

上圖中紅圈為物品，散點圖為模擬1000次投圈過程中，投圈中心點的位置散布。

3.計算1000次投圈過程中，投圈套住物品的佔比情況。

輸出結果：0.014，即投1000次，有14次能夠套住物品，就是個小概率事件，知道你為什麼套不住了吧。

（5）蒙特卡洛方法本身不是優化方法，與遺傳算法、粒子群等優化算法有著本質的區別。

蒙特卡洛方法與遺傳算法、粒子群算法等智能優化算法有相似之處，比如都屬於隨機近似方法，都不能保證得到最優解等，但它們也有著本質的差別。一是層次不一樣，蒙特卡洛只能稱之為方法，遺傳算法等則屬於仿生智能算法，比蒙特卡洛方法要複雜。二是應用領域不同，蒙特卡洛是一種模擬統計方法，如果問題可以描述成某種統計量的形式，那麼就可以用蒙特卡洛方法來解決；遺傳算法等則適用於大規模的組合優化問題（選址問題、排班問題、管理調度、路線優化）等，以及複雜函數求最值、參數優化等。