第12講 典型例題與練習參考解答:導數的基本運算法則與高階導數

2021-03-02 考研競賽數學

【注】如果公式顯示不全，請在公式上左右滑動顯示！

練習1：用反函數求導法則求下列函數的導數.

(1)

(2)  

(3)  

【參考解答】：(1) 【思路一】 函數

即

【思路二】 改寫函數表達式為

【思路三】 由導數的定義，求極限得

即

(3) 函數

故由反函數求導公式，得

即

【參考解答】：(1) 令

(2) 由

(3) 令

直接由複合函數求導公式，得

回代

(5) 令

【注】：注意右側三個

(6) 由於

【注】：該結論可以直接當公式使用，適用於冪指函數結構的函數導數計算. 如

等導數的計算. 其結果可以視為先將函數視為指數複合函數求導（即底數

(7) 基於(5)的解題思路，函數可以改寫為

利用對數函數的性質，有

練習3：求下列函數的導數.

(1)

(2)

(3)

【參考解答】：對於包含有四則運算和複合結構的函數的導數，先四則運算，再複合運算，能夠化簡的先化簡表達式.

(1) 由分母有理化，分母乘以分子，得

(2) 由求導的加法法則，得

其中三個函數的導數分別為

將以上結果代入，得

(3) 先由乘法法則，得

再由複合函數求導法則，得

代入得

【參考解答】：(1) 依次求各階導數遞推，得

以此遞推可得

【注】：由以上結論可得

當

進而可以推導得到

(2) 依次求各階導數遞推，得

以此類推可得

【注】：由此也可以直接推得

(3) 依次求各階導數遞推，得

以此類推可得

【注】：其中

練習5：求下列函數指定階的導數.

(1)  

(2)  

(3)  

(4)  

【參考解答】：(1) 直接應用乘法法則和複合函數求導法則，逐階求導，得

繼續應用加法、乘法和複合函數求導法則，得

【注】：對於抽象函數求導數，如果所有各階導數的複合結構裡面表達式一致，則最終結果一般可以直接函數符號，不帶複合結構. 比如以上最終結果中的各階導數描述

從而達到簡化最終描述的目的.

(3) 【思路一】 逐階求導遞推，有

歸納可得

【思路二】 由萊布尼茲公式和之前的結果

直接代入公式，得

練習6：設

其中

【參考解答】：由於

於是由萊布尼茲公式，兩端求

對於前面一項，有

展開求和式，得

即所需驗證的等式成立. 令

容易計算得到

因此，由(*)可以推得

其中

練習7：求

【參考解答】：【思路一】 利用求導法則，將函數拆分為兩部分

其中

代入

【思路二】利用導數的定義，得

練習8：求

【參考解答】：改寫函數表達式，得

則由萊布尼茲公式，可知

其中

練習9：設

【參考解答】：將函數寫成分段函數表達式，得

於是有左右導數的定義，得

所以一階導函數為

對

又在定義區間內

所以二階導函數為

從而再次由左右導數的定義，得

故

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