網格技術助力搜尋最大素數——梅森素數

2020-12-12 環球網

2008年8月,美國加州大學洛杉磯分校(UCLA)的計算機專家史密斯(E.Smith)通過參加了一個名為「網際網路梅森素數大搜索」(GIMPS)的國際合作項目,發現了第46個也是最大的梅森素數243112609-1,該素數也就是2自身相乘43112609次減1,它有12978189位數,如果用普通字號將這個巨數連續寫下來,它的長度可超過50公裡!最近,這一成就被美國的《時代》雜誌評為「2008年度50項最佳發明」之一,排名在第29位。

人類迄今只找到46個梅森素數

素數也叫質數,是只能被1和自身整除的數,如2、3、5、7等等。公元前300多年,古希臘數學家歐幾裡得用反證法證明了素數有無窮多個,並提出了少量素數可寫成2p-1(其中指數P為素數)的形式。此後許多數學家,包括數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等都研究過這種特殊形式的素數,而17世紀的法國數學家梅森(M.Mersenne)是其中成果最為卓著的一位。

由於梅森學識淵博,才華橫溢,並是法蘭西科學院的奠基人,為了紀念他,數學界就把2p-1型的數稱為「梅森數」,並以Mp記之(其中M為梅森姓氏的首字母);如果Mp為素數,則稱之為「梅森素數」(Mersenneprime)。2300多年來,人類僅發現46個梅森素數。由於這種素數珍奇而迷人,因此被人們譽為「數學海洋中的璀璨明珠」。梅森素數一直是數論研究的一項重要內容,也是當今科學探索的熱點和難點。

貌似簡單卻難度極大的探究

梅森素數貌似簡單,但研究難度卻很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧,而且還需要進行艱巨的計算。1772年,瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了M31(即231-1=2147483647)是一個素數。它具有10位數字,堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人讚嘆不已,他因此獲得了「數學英雄」的美譽。難怪法國大數學家拉普拉斯(P.Laplace)向他的學生們說:「讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。」在「手算筆錄年代」,人們歷盡艱辛,僅找到12個梅森素數。

電子計算機的出現,大大加快了探究梅森素數的步伐。1952年,美國數學家魯濱遜等人將著名的盧卡斯-雷默方法編譯成電腦程式,使用SWAC型計算機在短短幾小時之內,就找到了5個梅森素數:M521、M607、M1279、M2203和M2281。

1963年9月6日晚上8點,當第23個梅森素數M11213通過大型計算機被找到時,美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放,在第一時間發布了這一重要消息。發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲,為讓全世界都分享這一成果,以至把所有從系裡發出的信封都蓋上了「211213-1是個素數」的郵戳。

隨著素數P值的增大,每一個梅森素數Mp的產生都艱辛無比;而各國科學家及業餘研究者們仍樂此不疲,激烈競爭。例如,在1979年2月23日,當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森數M23209時,有人告訴他們:在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣結果。為此他們又花了一個半月的時間,使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數M44497。這件事成了當時不少報紙的頭版新聞。

為與美國較量,英國原子能技術權威機構——哈威爾實驗室專門成立了一個研究小組來尋找更大的梅森素數。他們用了兩年時間,花了12萬英鎊的經費,於1992年3月25日找到了新的梅森素數M756839。不過,1994年1月14日,史洛溫斯基等人為美國再次奪回發現「已知最大素數」的桂冠——這一素數是M859433。由於史洛溫斯基一共發現7個梅森素數,他被人們譽為「素數大王」。

由於梅森素數在正整數中的分布是時疏時密極不規則的,因此研究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。數學家們在長期的摸索中,提出了一些猜想。英國數學家香克斯、法國數學家伯特蘭和託洛塔、印度數學家拉曼紐楊、美國數學家吉裡斯和德國數學家伯利哈特等都曾分別給出過關於梅森素數分布的猜測,但他們的猜測有一個共同點,就是都以近似表達式給出,而與實際情況的接近程度均難如人意。

中國數學家和語言學家周海中對梅森素數研究多年,他運用聯繫觀察法和不完全歸納法,於1992年首先給出了梅森素數分布的精確表達式,從而揭示了梅森素數的重要規律,為人們探究這一素數提供了方便。後來這一科研成果被國際上稱為「周氏猜測」。

利用網格技術搜尋梅森素數

網格(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探尋如虎添翼。1996年初,美國數學家和程序設計師沃特曼(G.Woltman)編制了一個梅森素數計算程序,並把它放在網頁上供數學家和數學愛好者免費使用,這就是著名的GIMPS項目。該項目採取網格計算方式,利用大量普通計算機的閒置時間來獲得相當於超級計算機的運算能力。只要人們去GIMPS的主頁下載那個免費程序,就可以立即參加GIMPS項目去搜尋梅森素數。

12年來,人們通過GIMPS項目找到了12個梅森素數,其發現者來自美國、英國、法國、德國和加拿大。目前,世界上有160多個國家和地區近16萬人參加了這一項目,並動用了30多萬臺計算機聯網來進行網格計算。該項目的計算能力已超過當今世界上任何一臺最先進的超級矢量計算機的計算能力,運算速度超過每秒350萬億次。

為了激勵人們尋找梅森素數,設在美國的電子新領域基金會(EFF)不久前向全世界宣布了為通過GIMPS項目來探尋梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。後面的獎金依次為:超過1億位數,15萬美元;超過10億位數,25萬美元。由於史密斯發現的梅森素數已超過1000萬位,他將有資格獲得EFF頒發的10萬美元大獎。其實,絕大多數研究者參與該項目並不是為了金錢,而是出於樂趣、榮譽感和探索精神。

梅森素數的意義和價值

梅森素數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑;它的探究推動了數學皇后——數論的研究,促進了計算技術、程序設計技術、密碼技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。

探尋梅森素數最新的意義是:它促進了網格技術的發展。而網格技術將是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的技術。另外,探尋梅森素數的方法還可用來測試計算機硬體運算是否正確。

由於探尋梅森素數需要多種學科和技術的支持,所以許多科學家認為:梅森素數的研究成果,在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家索託伊(M.Sautoy)甚至認為它是標誌科學發展的裡程碑。可以相信,梅森素數這顆數學海洋中的璀璨明珠正以其獨特魅力,吸引著更多的有志者去探尋和研究。

相關焦點

  • 梅森素數:數學寶山上的鑽石
    1772年,有「數學英雄」美名的瑞士數學大師萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數,堪稱當時世界上已知的最大素數。在「手算筆錄」的年代,人們歷盡艱辛,僅找到12個梅森素數。而計算機的產生加速了梅森素數探究進程。
  • 梅森素數為什麼這麼重要?
    為了紀念他,數學界就把2^P-1型素數稱為「梅森素數」。2300多年來,人類僅發現50個梅森素數。這種素數稀奇而迷人,故被人們稱為「數學領域的璀璨瑰寶」。例如,1772年,素有「數學英雄」之稱的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了2^31-1是第8個梅森素數;這個具有10位的素數(即2147483647),堪稱當時世界上已知的最大素數。他的的頑強毅力和解題技巧都令人讚嘆不已;難怪法國大數學家拉普拉斯經常對他的學生說:「讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。」在「手算筆錄年代」,人們歷盡艱辛,一共只找到12個梅森素數。
  • 第51個梅森素數被成功發現!
    為了紀念他,數學界就把2^P-1型素數稱為「梅森素數」。2300多年來,人類僅發現51個梅森素數。這種素數稀奇而迷人,故被人們稱為「數學領域的璀璨瑰寶」。梅森素數貌似簡單,但當指數P值較大時,它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧,還需要進行艱苦的計算。
  • 美國數學教授發現已知的最大梅森素數
    據英國《新科學家》雜誌網站報導,美國中央密蘇裡大學數學教授柯蒂斯·庫珀(Curtis Cooper)領導的研究小組於1月25日發現了已知的最大梅森素數——2^57885161-1 (即2的57885161次方減1);該素數有17425170位,如果用普通字號將它連續列印下來,它的長度可超過65公裡!
  • 第47個梅森素數被發現 連續寫下來長度超50千米
    梅森素數的誘惑  素數是在大於1的整數中只能被1和其自身整除的數(如2、3、5、7等等),素數有無窮多個。而形如「2的P次方減1」(其中指數P為素數)的素數稱為梅森素數,以17世紀法國數學家梅森的名字命名。梅森素數是數論研究的一項重要內容,也是當今科學探索的熱點和難點之一。
  • 科學探索:尋找梅森素數 至今僅找到47個
    其中17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林 梅森是其中成果較為卓著的一位,因此數學界將「2P-1」型的素數稱為「梅森素數」。迄今為止,人們僅發現47個梅森素數。由於這種素數稀奇而迷人,故被人們稱為「數海明珠」。  梅森素數貌似簡單,但當指數P值較大時,其探究難度就會很大。在「手算筆錄」的年代,人們僅找到12個梅森素數。而計算機的誕生和網格技術的出現,加速了梅森素數探究的進程。
  • 梅森素數:千年不休的探尋之旅
    1772年,在卡達迪提出近200年之後,瑞士數學家歐拉證明了M31確實是一個素數,這是人們找到的第8個梅森素數,它共有10位數,堪稱當時世界上已知的最大素數,歐拉也因此成為第二個在發現者名單上留名的人。讓人驚嘆的是,這是在他雙目失明的情況下,靠心算完成的。這種超人般的毅力與技巧讓歐拉獲得了「數學英雄」的美譽。
  • 發現「素數王」的意義
    從歐幾裡德的年代算起,直到1個月前人類還只知道40個「梅森素數」。  國際先驅導報文章不久前,美國國家海洋和大氣局(NOAA)信息技術顧問、數學愛好者喬希·芬德利使用一臺裝有2.4GHz奔騰處理器的個人計算機,發現了目前世界上已知的最大素數。
  • 梅森素數探究的一些奇聞趣事
    -1;該素數也是目前已知的最大素數,有17425170位;如果用普通字號將它連續列印下來,它的長度可超過65公裡!1772年,瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下,花了兩天的時間,靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數,堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉證明這一素數的頑強毅力和解題技巧都令人讚嘆不已;他也因此獲得了「數學英雄」的美名。難怪法國大數學家拉普拉斯經常對他的學生說:「讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。」
  • 梅森素數珍奇而迷人 被譽為「數論中的鑽石」
    為此他們更加發奮努力,花了一個半月的時間,使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數2^44497-1;該數有13395位,是當時已知的最大素數。這件事成了當時不少主流媒體的頭條新聞。後來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數,因而被人們稱為「素數大王」。
  • 第51個梅森素數被成功發現
    據國外媒體報導,一位名叫派屈克·羅什的美國人最近利用「網際網路梅森素數大搜索(GIMPS)」項目,成功發現第51個梅森素數2^82589933-1(即2的82589933次方減1);該素數有24862048位,是迄今為止人類發現的最大素數。
  • 神奇的梅森素數,迄今人類僅發現47個
    1772年,有「數學英雄」美名的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了231-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數,堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人讚嘆不已;法國大數學家拉普拉斯說的話,或許可以代表我們的心聲:「讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。」
  • 第51個梅森素數被成功發現
    原標題:第51個梅森素數 據國外媒體報導,一位名叫派屈克·羅什的美國人最近利用「網際網路梅森素數大搜索(GIMPS)」項目,成功發現第51個梅森素數2^82589933-1(即2的82589933次方減1);該素數有24862048位,是迄今為止人類發現的最大素數。
  • 神奇的梅森素數
    前不久,美國電氣工程師及數學愛好者喬納森·佩克通過一個名為「網際網路梅森素數大搜索(GIMPS)」的國際合作項目,發現了人類已知的最大素數2"77232917-1。這是第50個被發現的梅森素數,共有23249425位數。假設我們每秒鐘寫一個數字的話,要連續寫近200個晝夜才能寫完。
  • 迄今最大的素數,長達2233萬位!
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  • 迄今最大的素數被發現了,長達2233萬位
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