前段時間有朋友問，為什麼學了那麼多力學課程卻不會做有限元分析？那麼力學和有限元分析到底有著什麼樣的聯繫？力學在有限元分析中到底能起到什麼樣的作用？關於這個問題，我想從下面三個角度來做些解釋。
第一、力學分析和有限元分析的求解途徑不同
以材料力學、彈性理論為代表的理論分析和以有限元方法為代表的數值計算其實都是研究工程結構響應的方法和手段，但是兩者在分析結構響應時採用的是兩條完全不同的路子。力學是採用連續體的解析途徑，而有限元分析則是採用離散的數值分析的途徑。
在力學理論方面，材料力學研究基本構件的受力問題，結構力學研究杆件系統及板殼結構的受力問題，彈性力學則是從連續性、均勻性、各向同性、線彈性等基本假定出發，研究連續彈性體的一般受力問題。
與材料力學相比，彈性理論可以給出更為精確的解答，並可用來校核材料力學的結果。例如，梁的彎曲應力沿橫截面實際上為非線性分布，對於跨高比較小的深梁尤為明顯，由彈性力學解答可以估計材料力學計算結果的誤差。
又比如，材料力學對帶孔杆件拉伸的強度計算時，認為沿孔徑的淨截面上拉應力是均勻分布的，而彈性理論給出的解答則說明在孔邊附近應力不僅不是均勻分布，而且還有明顯的應力集中現象。
這個意義上講，學好了彈性力學就是打好了固體力學的基礎。在彈性理論基礎上發展起來的複合材料力學、塑性力學、斷裂力學等固體力學分支，無一例外都是採用解析的求解途徑。
在振動方面，結構動力學和彈性動力學等也都是基於解析的途徑。但是這些解析的方法存在顯著的局限性，對於大量新的結構形式和材料不斷湧現的現實情況，往往無法給出問題的控制偏微分方程的解答。
另一方面，有限元方法則是通過離散化的途徑將連續的求解域分割為一系列單元的組合體，這些單元通過有限數量的節點與其他相鄰的單元連接在一起。對於廣泛應用的位移元（以位移作為基本未知量的單元），各個單元內部可按統一的模式進行位移插值，基於變分原理建立單元節點力和節點位移之間的關係，即單元剛度方程。
基於相鄰單元在公共節點上的位移協調條件和節點的平衡條件，建立離散結構體的平衡方程，即總體剛度方程。引入邊界條件，消除總剛方程的奇異性，求得節點位移。基於節點位移，得到單元的應變，再基於本構關係得到單元的應力。對於採用等參變換單元，由於採用數值積分技術，因此計算得到的原始應力和應變其實都是單元的數值積分點上的值。
由此可見，有限元方法的整個求解過程，完全沒有用到求解數學物理方程中的那些經典的解析方法。而對於那些無法用解析方法求解的問題，只要控制方程和邊界條件明確，都可以通過有限元方法基於相同的格式和步驟進行求解。
記得十幾年前，我在課題中遇到較為複雜的球對稱問題，難於求解相關的方程，商用程序中又沒有球對稱單元，因此基於對微分方程的加權餘量法導出有限元列式並通過Fortran程序進行了計算。
第二、有限元分析在當前主要藉助於各種商用程序來實現
目前，除了少數單位擁有內部的自研程序分析一些特定的問題之外，工程領域的大量問題的結構力學分析都是通過成熟的商用軟體來實現的。
在《工程結構有限元分析，到底難在哪裡》一文中，我曾提出了有限元分析的「二次映射」的概念，即在目前主要通過商用程序完成結構分析的大背景下，軟體用戶需要首先把待分析的實際工程問題映射為一個性質和邊界條件都明確化的力學問題，再將這個力學問題映射為商用軟體可以求解的數學問題或計算模型，這兩次映射其實是有限元分析真正關鍵的地方。
把實際問題抽象成為力學問題的過程中，無論是劃定求解域還是確定邊界條件都需要工程經驗，而力學課程中往往只講具體的方程和問題怎麼求解，彈性理論的應力解法和位移解法對於從工程問題中抽象出分析模型顯然幫不上什麼忙。
另一方面，在明確了一個問題的性質、求解範圍和邊界後，能否正確求解，對商用軟體的認知和熟悉程度又起到很重要的作用。如果對計算軟體編制的原理不熟悉，可能導致無法選用正確的求解模塊或分析選項，造成錯誤解答。如果對於軟體建模工具的使用不熟練，可能導致模型中各部件在拓撲上不連續等錯誤。因此，分析人員需要對軟體的算法和模型處理方法都有一定的認知。
第三、力學對有限元分析有著重要的指導作用
既然分析主要靠軟體，那麼力學對於有限元分析重要嗎？答案是肯定的。彈性力學的很多原理，如：基本方程、解的唯一性定理、聖維南原理等對有限元分析及計算結果的解釋等方面都有指導作用。
可以說，力學概念可以為有限元分析的過程提供理論指導，並為其計算結果的解釋提供理論依據。力學概念清楚的軟體用戶，能夠通過概念來論證計算模型的有效性，也可以通過力學概念來避免不必要的計算工作量。
此外，有限元分析不是目的，設計人員往往需要根據計算結果對設計進行調整和優化，這種情況下力學概念也同樣起到指導作用。可以說，沒有力學概念，有限元分析沒辦法做到有理有據，會陷入到既不知道為什麼這麼做，也不知道計算結果是對還是不對的尷尬境地。
下面列舉兩例，說明力學在工程結構有限元分析中所起到的指導作用。
一個是關於靜力分析和動力分析的區別問題。如果熟悉結構動力學，那麼可以首先計算結構的固有頻率，並與荷載的性質進行比較。下圖是一類典型的加載過程，即荷載隨時間線性遞增，到最大值後保持不變。那麼對這樣的問題，到底是做靜力分析還是需要做動力分析呢？
下面給出一系列不同荷載上升時間的SDOF系統的動位移幅值的變化曲線。由結構動力學理論計算結果可知，當加載時間（上升時間）超過3倍結構固有周期時，自振引起的動力效應將顯著降低，可以視為靜力問題。
計算結果還表明，加載上升時間為結構固有周期的整數倍時，荷載水平段也不會引起系統的振動。這個理論為有限元分析中採用靜力計算還是動力學計算提供了理論依據。
又比如下圖平面應力問題中A、B兩點的應力狀態。對於凸角的頂點A，由於此處沒有表面分布載荷，由應力邊界條件表達式可導出A點處於零應力狀態。而凹角的頂點B，其附近所取的微元體各個面均不是邊界面，其上的應力分量都是未知，由理論分析可知此處的應力趨向於無窮大。
這個問題的理論分析實際上為這類型問題的有限元模型簡化提供了理論指導，結合聖維南原理又可以對計算結果的應力奇異點等問題提供分析的依據。
綜上所述，力學和有限元分析採用的是完全不同的求解途徑，有限元分析可以計算的問題顯然比彈性力學更為複雜和廣泛。儘管現階段有限元分析基本上都是藉助於商用軟體，但是力學理論和概念還是可以為有限元建模和計算提供理論指導和分析依據。所以，學習了力學，有可能不會有限元分析，但是如果沒有力學概念，同樣也做不好有限元分析。
作者簡介：尚曉江，仿真秀專欄作者，工學博士，力學和有限元分析理論功底紮實，長期從事ANSYS軟體應用與技術諮詢工作，累計為國內用戶開展培訓或講座逾3000人次，編著有《ANSYS結構有限元高級分析方法與範例應用（第三版）》、《工程結構優化設計方法與應用》等。
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