等差數列求和公式 求和的七種方法

等差數列是常見數列的一種，可以用AP表示，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

 (一）等差數列求和公式

1.公式法

2.錯位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.

5.裂項相消法

適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。

小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意：餘下的項具有如下的特點

1、餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2、餘下的項前後的正負性是相反的。

6.數學歸納法

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值時命題成立；

（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

例：

求證：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明：

當n=1時，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設命題在n=k時成立，於是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當n=k+1時有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

7.並項求和法

（常採用先試探後求和的方法）

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（並項）

求出奇數項和偶數項的和，再相減。

方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：

構造新的數列，可借用等差數列與等比數列的複合。

an=n(-1)^（n+1）

（二）等差數列判定及其性質

（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數]等價於{a(n)}成等差數列。（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價於{a(n)}成等差數列。（3）a(n)=kn+b [k、b為常數,n∈N*] 等價於{a(n)}成等差數列。（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數，A不為0，n ∈N* ]等價於{a(n)}為等差數列。在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等於中間項的2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中例：數列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和。數列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若項數為奇數，和等於中間項的2倍，另見，等差中項。

來源：高中數學

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