統計之美 | 牛頓的蘋果

萬有引力定律（Newton's law of universal gravitation）是牛頓在1687 年於《自然哲學的數學原理》上發表的定律。讓我們先來看看萬有引力的公式：

其中F表示萬有引力，G是一個常數，精確測量後得到其值約為6.67×10-11Nm2/kg2，m1和m2分別表示兩個物體的質量，r 是它們之間的距離。這個公式橫空出世後為人類帶來了巨大的改變，大到天體運行，小到一花一葉，都可以精確地計算了，人類掌握了以前被認為是神創造的規律。

這個公式為什麼驚世駭俗？關鍵是其中的那個「等號」。等號意味著這是絕對的物理規律，不會有任何偏差，如果有偏差那一定是測量的誤差。100多年之後，卡文迪許（Cavendish）於1797年到1798年完成了著名的卡文迪許扭秤實驗，從此人們可以對萬有引力進行精確的測量，後續越來越多的實驗也不斷驗證了萬有引力定律的正確性。

我們回顧這段歷史，會發現這是一個經典的科學發展的過程，先是由天才人物通過靈感提出假說（定律），然後有後人通過實驗或者真實的數據不斷驗證。如果這個過程反過來呢？如果先有了卡文迪許扭秤實驗的話又該如何？讓我們來做一個合理的假設，讓歷史的時鐘倒流。人們通過卡文迪許實驗測得了大量物體之間的萬有引力，同時也測量了物體的質量、間距等數據，慢慢發現物體的質量、間距會是關鍵的影響因素，於是會建立一個這樣的模型：

如果引力和質量、間距之間真的存在規律，那麼ϵ 應該是一個隨機的誤差項，在大量數據的基礎上，基於這個隨機誤差的假設，一定可以找到一個顯式的數學公式，而且可以預期這個公式f (m1,m2, r) 一定會等價於牛頓的萬有引力公式。很顯然，我們的這種假設方式和牛頓發現萬有引力的過程是相反的，但是在現實的應用中更加廣泛，這種方法就是擬合。由於ϵ 的存在，我們無法得到一個完美的等號，但是可以表達足夠強的規律，得到一個統計模型。這就是擬合的思想，也是最常見的統計思想之一。