1．方向導數的定義
設二元函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有定義，其中向量u對應的單位向量為uo=(cosα,cosβ)，其中α,β為向量u的方向角，則當極限
存在時，則稱該極限為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處沿方向u的方向導數，記作
【注】從實際應用與通用性角度，我們定義方向導數ρ→0+。有些教材對方向導數的定義ρ的取值可正可負，雖然可以視偏導數為其特殊情況，但是其條件對於實際應用來說太強！當然如果一個函數沿著指定方向及其反方向方向導數存在且互為相反數，則定義與ρ→0+一樣可得到有效結論。
2．方向導數的幾何意義
設z=f(x,y)表示空間曲面S，則方向導數Duf(x0,y0)表示過點P(x0,y0,0), M(x0,y0,f(x0,y0))，且平行於xOy面上的向量u和垂直於xOy的平面π與曲面S的交線在點M(x0,y0,f(x0,y0))處的切線的斜率．
【注】特別地，f』x(x0,y0)與f』y(x0,y0)分別為函數f(x,y)在點P(x0,y0)處沿兩坐標軸方向i=(1,0)及j=(0,1)的方向導數．
3．方向導數的計算
定理設函數f(x,y)在點P(x0,y0)可微，那麼函數在該點沿任意方向向量u的方向導數都存在，且有
其中cosα,cosβ為向量u的方向餘弦．
4．多元函數的方向導數
方向導數的概念及計算公式可推廣到三元及三元以上的函數．例如，三元函數f(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)沿方向u（對應的單位向量為uo=(cosα,cosβ,cosγ)）的方向導數定義為
同樣，當函數f(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)可微時，函數在該點沿方向u的方向導數
一般地，當函數f(x,y,z)可微時，有
5．多元函數的梯度
二元函數f(x,y)與三元函數f(x,y,z)的梯度（梯度向量），記作
分別定義為：
6．多元函數方向導數與梯度的關係
方向導數是函數梯度在方向向量u上的投影：
7．方向導數與梯度的應用
定理設f(X)在點X0可微,u是一個n維非零向量，如果Duf(X0)>0，則u是f(X)在點X0處的一個上升方向；如果Duf(X0)<0，則u是f(X)在點X0處的一個下降方向．
(1) 梯度方向是函數值上升最快的方向，而函數值下降最快的方向是負梯度方向．通常，把梯度方向與負梯度方向分別叫做函數的最速上升方向與最速下降方向．
(2) 函數在最大值點或最小值點處的梯度為零向量．
(3) 與函數f(X)在點X0處的梯度方向成銳角（鈍角）的任何方向都是f(X)在點X0處的上升（下降）方向．
(4) 二元函數、三元函數的梯度向量分別是相應的等值線、等值面的法線的方向向量。如圖：
相關例題與典型題參見課件列表！