破解「遠點，特徵數」只須全等一點通（2020年常州第27題）

2020-08-28 愛數學做數學

破解「遠點，特徵數」只須全等一點通（2020年常州第27題）

說起全等三角形，那可是學習幾何的老朋友了，從七年級開始接觸它，到九年級複習備考，可以說，大凡幾何綜合題，很少沒涉及到它的，特別地，它也是某些壓軸題的點睛之筆，通常會隱藏在幕後，一旦通過分析找出，剩下的事兒就好辦多了。

2020年常州的幾何壓軸題，先是用兩個新概念做足表面功夫，而最終返璞歸真，一線三直角模型（K型全等）完成難點突破。

題目

如圖1，圓I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交圓I於P、Q兩點(Q在P、H之間).我們把點P稱為圓I關於直線a的「遠點」，把PQ·PH的值稱為圓I關於直線a的「特徵數」.

(1)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點E的坐標為(0,4)，半徑為1的圓O與兩坐標軸交於點A、B、C、D.

①過點E畫垂直於y軸的直線m，則圓O關於直線m的「遠點」是點________(填A，B，C，D)，圓O關於直線m的「特徵數」為_________；

②若直線n的函數表達式為y=√3x+4，求圓O關於直線n的「特徵數」；
(2)在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點M(1,4)，點F是坐標平面內一點，以F為圓心，√2為半徑作圓F，若圓F與直線l相離，點N(-1,0)是圓F關於直線l的「遠點」.且圓F關於直線l的「特徵數」是4√5，求直線l的函數表達式.

解析：

(1)對於新概念「遠點」，利用直線和圓的位置關係很容易理解，即直線與圓相離的前提下，圓周上離垂足H最遠的點，「特徵數」即圓直徑與最遠距離的乘積；

①在圖2中，垂足為點E，於是遠點為D點，而BD=2，DE=5，因此特徵數為10；
②注意直線n是經過點E的，作出這條直線會發現它與坐標軸圍成的三角形是特殊直角三角形，如下圖：

△EOF是直角三角形，點F坐標不難求，為(-4√3/3,0)，我們可求出tan∠EFO=√3，則∠EFO=60°，接下來繼續利用三角函數在Rt△HOF中求OH=2，然後求出PH=3，那麼特徵數為2×3=6；

或者利用面積法在△EOF中求其斜邊上的高，或者用勾股定理計算都行；

(2)讀完本小題條件，需要明確的事實是直線l並不確定，但特徵數是定值，特徵數是圓直徑與最遠距離的乘積，其中圓直徑也是定值，則意味著最遠距離也是定值，有了這個基本認知，後面的思維便基本不會太難。

那麼這個最遠距離究竟是多少呢？我們先解決這個問題

由題意可知圓直徑為2√2，特徵數是4√5，兩者相除即可得到最遠距離為√10；

現在圖形應該很好畫了，經過點M的直線有無數條，其中滿足點N到直線l距離等於√10的應該有兩條，我們一起來作出這兩條直線來，先利用圓及其切線來作圖，第一步：以點N為圓心，√10為半徑作圓N，然後過點M作圓N的兩條切線，得到直線l的兩種位置，如下圖：

圖中的MH和MH'就是直線l可能的兩種位置，在此基礎上，我們繼續作圖，找到圓心F即可開始解答，如下圖：

這是其中一種情況，我們前面已經求得了HN=√10，同時MN長度可求，為2√5，發現紫色三角形Rt△MHN是一個等腰直角三角形，很顯然可構造一線三直角模型，過點H作x軸的垂線KL，再過點M作KL的垂線，則出現K型全等三角形△MKH≌△HLN，不妨設KH=LN=t，則HL=KL-KH=4-t=KM，而從橫坐標觀察，KM=OL+1=1+t+1=2+t，可列方程4-t=2+t，解得t=1，於是H(-2,3)，將它與點M代入直線y=kx+b中，求出解析式為y=1/3x+11/3；

我們將上圖沿MN對稱一下，便得到下圖：

和前一種情況類似，仍然設KH=t，則HL=4-t=MK，而從橫坐標觀察，得MK=NL-2=t-2，可列方程t-2=4-t，解得t=3，於是H(2,1)，將它與點M代入直線y=kx+b中，求出解析式為y=-3x+7.

解題反思

新定義往往建立在舊定義基礎之上，本題的新定義並不複雜，基礎是直線與圓的位置關係，點到直線的距離，圓周上點到直線的距離，在最後一小題作圖過程中，需要理解過點M的直線到點N的距離為√10即我們所求直線l，過點M的直線有無數條，但這無數條直線中，距離點N距離為√10就只有兩條，為什麼只有兩條呢？由於點到直線的距離是垂線段的長度，因此需要有一個圓，以點N為圓心，√10為半徑的圓，其中√10即特徵數4√5告訴我們的，這需要對特徵數定義理解透徹，即最遠距離為√10，在學習圓的切線時，我們已經畫過圖，過圓外一點作圓的切線，可畫兩條，這也是為什麼最終有兩種情況的原因。

確定了直線l的兩種情況，剩下的任務相對就簡單了，其實在給學生講題的時候，這個環節往往很容易被忽視，即為什麼要這樣作圖，參考答案是直接給出，沒有告訴學生是怎麼來的，但作為老師講壓軸題必須把這兩條直線位置探索出來，而不是直接給出來，因此在本題解析中，花費了較多篇幅，至於後面的變化，還有很多，一線三直角模型已經被研究得很透了，只要後面的等腰直角三角形被證明出來，方法遠不止一種。

這道題難在哪裡？

我認為難在新定義的深入理解，表面意義很簡單，涉及到的基本概念並不難，但深入一些，就涉及到眾多圓的概念，可以說，如果對圓的章節學習中，概念不熟練，那麼思考時便難以想到切線上去，那直線l的確定對學生來講就是難點，沒有直線l的位置，再好的戲也出不來。

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